Ecuații diferențiale în totalul diferențelor
Studenții instituțiilor de învățământ superior caută adesea informații, „Cum de a găsi o soluție la diferențial exactă?“. În această lecție veți primi instrucțiuni complete, plus soluții gata făcute. Introducere în - ceea ce este ecuația diferențială ordinară? Cum să caute o soluție la diferențial completă?
Analiza suplimentară de exemple gata, după care, probabil, nu va avea probleme cu privire la acest subiect.
ecuație diferențială ordinară
1. Definiție formă Ecuația M (x, y) dx + N (x, y) dx = 0 este ecuația diferențială totală. dacă dependența înainte de semnul egal este diferențial total al unei funcții de două variabile u (x, y). atunci există o formulă corectă
du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dx. (1)
Astfel, conținutul ecuației inițiale este egală cu zero, funcția diferențială totală
du (x, y) = 0.
Integrarea diferențial obținem controlul general, integral sub forma
u (x, y) = C. (2)
În calculele constante, de obicei, de stabilire zero.
Calculele anterioare este întotdeauna întrebarea „Cum se verifică dacă controlul specificat este ecuația diferențială ordinară?“
Această întrebare răspunde condiției următoare.
O condiție necesară și suficientă pentru un diferențial totală
O condiție necesară și suficientă pentru egalitate completă între diferențialul este parțial
(3)
În rezolvarea ecuațiilor diferențiale se verifică în primul rând, trebuie să identificăm dacă ecuații diferențiale ordinare sau poate mai mult.
Conform conținutului, această condiție înseamnă că derivații mixte sunt egale.
În formulele prezentate, în funcție
(4)
o condiție necesară și suficientă pentru existența diferențial totală poate fi scrisă ca
Acest criteriu este utilizat și atunci când verificarea conformității cu ecuația diferențial totală, deși studiul profesorilor subiect vă va cere să nu alte tipuri de ecuații.
Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în total
Cu notația (4) Funcția parțială diferențială totală pe care u (x, y), putem găsi de integrare
Aceste formule sunt date o alegere în calcule, astfel încât alege să se integreze derivata parțială, integrală este mai ușor de găsit în practică.
Apoi, un al doilea punct important - integralei nedeterminată este un primitiv care este „C +“. care ar trebui să fie definite.
Prin urmare, atunci când integrarea derivare parțială M (x, y) pe „X“ depinde de y din oțel și invers - dacă integra N (x, y) la y devin dependenți de „X“.
Mai mult, pentru a determina constanta luând derivata lui u (x, y) de o altă variabilă decât cea asupra căreia integrarea și este echivalentă cu cea de a doua derivata parțială.
În formulele, se va arăta după cum urmează
Ca regulă generală, unii termeni sunt simplificate și obținem ecuația pentru constanta derivată. Pentru prima ecuație obținem
În cele din urmă, după determinarea totală constantă integrală este de forma
Forma simetrică și a obține un răspuns la o altă ecuație.
Înregistrarea numai aspectul complexului, de fapt, în practică, totul pare mult mai simplu și mai ușor. Luați în considerare următoarele sarcini pentru totalul diferențialele.
Gata să răspundă ecuație diferențială ordinară
ecuație diferențială EXEMPLUL 1.Reshit
Soluție: Partea stângă a ecuației este diferențial total al unei funcții, deoarece condiția
Prin urmare, am scrie derivata parțială a unei funcții de două variabile de la „X“
și am găsit-o astfel de integrare
Pentru a completa definiția este în mod constant în derivate parțiale ale funcțiilor „y“ și echivala cu valoarea în ecuația
Termeni similari în partea dreaptă și stângă a tăiat, și apoi găsi o integrare permanentă
Acum avem toate valoarea pentru a înregistra soluția generală a ecuației diferențiale în forma
După cum se poate observa, soluțiile de circuit de ecuații diferențiale în total nu este complicat și sub forța toată lumea să învețe. Sunt factori importanți ai diferențialele, deoarece acestea trebuie să se integreze și să se diferențieze de a găsi o soluție.
Exemplul 2 (6.18) Găsiți integrantă a ecuației diferențiale
Soluție: Conform teoriei partea stângă a ecuației trebuie să fie diferențial totală a unei funcții de două variabile u (x, y), în același timp verificarea dacă este îndeplinită condiția
De aici luăm derivata parțială a integralei și pentru a găsi funcția
Calculăm derivata parțială a unei funcții de două variabile de y, și echivala în partea dreaptă a ecuației.
Derivata exprimată prin relația
Dată fiind constanta primit integrala generală a ecuației diferențiale în forma
In acest calcul al prezentului exemplu este finalizată.
EXEMPLUL 3 (6,20) Pentru a rezolva ecuația diferențială
Soluție: Partea stângă a ecuației este diferențial totală a unei funcții de două variabile u (x; y). în cazul în care condiția
Prin urmare, începe să rezolve ecuațiile, ci mai degrabă integrarea unuia dintre parțiala
În continuare, vom găsi derivata funcției obținute în variabila y și echivala în partea dreaptă a diferențialului, în funcție
Acesta vă permite să găsiți constanta, ca o funcție de y. Dacă începe să dezvăluie dependența diferențială de pe partea dreaptă, constatăm că constanta depinde de x. Soluția generală a ecuației diferențiale nu se schimbă pentru ecuația predeterminată este
În acest exemplu rezolvat.
Exemplul 4 (6.21) Pentru a rezolva ecuația diferențială
Soluție: Verificați dacă diferențial total al unor funcții u (x, y) din partea stângă a ecuației
Scriem derivata parțială a unei funcții de două variabile și de a restabili integrarea soluție
Rafinarea constantă. Pentru a calcula această funcție derivată a y și echivala cu valoarea din ecuația (verde)
Prin urmare, ne exprimăm derivatul și integrează
Soluția generală a ecuației diferențiale putem scrie formula
Pentru a consolida subiectele cer să verifice în mod independent, că aceste ecuații sunt ecuații diferențiale ordinare și să le rezolve:
Aici și rădăcină funcții, trigonometrice, exponențială, logaritmi, într-un cuvânt - tot ce vă puteți aștepta pe module și examene.
După aceea va fi mult mai ușor pentru a rezolva acest tip de ecuație.
Următorul articol va fi introdus la ecuații de forma
M (x, y) dx + N (x, y) dx = 0
care sunt destul de asemănătoare cu ecuații diferențiale ordinare, dar nu și condiția egalității derivatele parțiale în ele. căutarea lor pentru un factor de integrare se calculează prin înmulțirea ecuației de mai sus, care devine ecuație diferențială ordinară.