De ce minus cu minus da plus

1) De ce minus înmulțit cu un minus este egal cu unu plus unu?

2) De ce este un minus înmulțit cu unu plus unu este egal cu minus?

Dușmanul dușmanului meu - prietenul meu

Cel mai simplu mod de a răspunde: „Pentru că acestea sunt regulile de acțiune ale numerelor negative.“ Regulile pe care le învățăm în școală și se aplică pentru viață. Cu toate acestea, manualele nu explică de ce este astfel de norme. Noi mai întâi încercăm să-l dau seama bazat pe media aritmetică a istoriei de dezvoltare, și apoi să răspundă la această întrebare din punctul de vedere al matematicii moderne.

Mult timp în urmă, oamenii au fost cunoscute numai numerele naturale 1, 2, 3. Acestea au fost folosite pentru numărarea, ustensile de extracție, dușmani, etc. Dar cifrele în sine sunt destul de inutile - trebuie să știe cum să se ocupe cu ei ... Adăugarea clară și ușor de înțeles pentru aceeași sumă a două numere naturale - de asemenea, un număr natural (un matematician ar spune că setul de numere naturale este închis în cadrul operațiunii de adăugare). Multiplicarea - este, de fapt, aceeași plus, dacă vorbim despre numerele naturale. În viață, vom face de multe ori activitățile asociate acestor două operațiuni (de exemplu, atunci când fac cumpărături, vom adăuga și multiplica), și este ciudat să ne gândim că strămoșii noștri le confruntat cu cel puțin - plus și de multiplicare au fost stăpânit de omenire pentru o lungă perioadă de timp. Și de multe ori trebuie să vă împărtășesc câteva valori pe de altă parte, dar rezultatele nu sunt întotdeauna exprimate printr-un număr natural - astfel încât numerele de acolo fracționare.

Fără deducere, desigur, de asemenea, nu se poate face. Dar, în practică, ne scade, de obicei, un număr mai mare de mici, și nu este nevoie de a utiliza numere negative. (Dacă am 5 de bomboane și eu voi da pe sora mea 3, atunci voi sta cinci-trei = 2 bomboane, dar să-i dea bomboane 7 am la toate dorinta nu pot.) Acest lucru se poate explica de ce oamenii sunt utilizate lung numere negative.

Ziarele indiene numere negative apar din secolul VII î.Hr..; Chineză, se pare că a început să le folosească un pic mai devreme. Acestea au fost folosite pentru a ține cont de datorii sau pentru calcule intermediare pentru a simplifica soluția de ecuații - a fost doar un instrument pentru a obține un răspuns pozitiv. Faptul că numerele negative, în contrast cu pozitiv, nu exprimă existența vreunui fapt, evocat de puternica neincredere. Oamenii pur și simplu evita numere negative, în cazul în care primește un răspuns negativ la o problemă care a crezut că nu există nici un răspuns la toate. Această neîncredere a fost menținută pentru o lungă perioadă de timp, chiar și Descartes - unul dintre „fondatorii“ ale matematicii moderne - le-a numit „false“ (în secolul XVII!).

De exemplu, ia în considerare ecuația 7x - 17 = 2x - 2. Acesta poate fi rezolvată după cum urmează: a muta membrii necunoscut de pe partea stângă, iar restul - la dreapta, veți obține 7x - 2x = 17 - 2. 5x = 15. x = 3. În acest decizia nu ne-am întâlnit chiar numerele negative.

Dar a fost posibil să se facă în mod accidental într-un alt mod: de a transfera termeni cu necunoscutul de pe partea dreaptă și a obține 2-17 = 2x - 7x. (-15) = (-5) x. Pentru a găsi necunoscut, trebuie să împartă un număr de un alt negativ: x = (-15) / (- 5). Dar răspunsul corect este cunoscut și rămâne să concluzioneze că (-15) / (- 5) = 3.

Aceasta demonstrează acest exemplu simplu? În primul rând, devine clar logica care definește regulile de acțiune ale numerelor negative: rezultatele acestor acțiuni trebuie să se potrivească cu răspunsurile, care sunt obținute într-un alt mod, fără numere negative. În al doilea rând, permițând utilizarea de numere negative, vom scăpa de plictisitor (în cazul în care ecuația va fi mai complexe, cu un număr mare de termeni) pentru a căuta soluții în care toate acțiunile sunt efectuate numai pe numerele naturale. Mai mult decât atât, nu mai putem gândi de fiecare dată despre meaningfulness valorilor convertite - și acesta este un pas spre transformarea matematicii într-o știință abstractă.

Reguli de acțiune de numere negative s-au format imediat, dar a devenit o generalizare a numeroase exemple care au apărut în soluționarea cererilor. În general, dezvoltarea matematicii pot fi împărțite în etape: fiecare etapă următoare este diferit de nou nivel anterior de abstractizare în studiul obiectelor. Deci, în secolul XIX matematicieni realizat ca numere întregi și polinoame, pentru toate neasemănare lor externe, au multe în comun: atât cele, și altele pot adăuga, scădea și multiplica. Aceste operațiuni sunt supuse acelorași legi - ca și în cazul numerelor, iar în cazul polinoame. Dar împărțirea numerelor întregi între ele pentru a obține din nou ca rezultat numere întregi, nu este întotdeauna posibil. Același lucru cu polinoame.

Apoi a descoperit un alt set de obiecte matematice, peste care se pot efectua astfel de operațiuni: serii de puteri formale, funcții continue. În cele din urmă, se înțelege că, dacă studia proprietățile operațiilor în sine, atunci rezultatele pot fi aplicate la toate aceste seturi de obiecte (o astfel de abordare este tipică pentru întreaga matematică moderne).

Ca urmare, un nou concept: inelul. Este doar un set de elemente, plus acțiunile care pot fi efectuate pe ele. Fundamentale aici sunt doar reguli (numite axiome), care fac obiectul acțiunii, și nu natura elementelor ale setului (aici este, un nou nivel de abstractizare!). Pentru a sublinia ceea ce este important este structura care are loc după administrarea de axiome matematică spun inelul de numere întregi, inelul de polinoame etc. Bazat pe axiome poate afișa alte proprietăți ale inelelor ...

Formulăm axiomele inele (care, desigur, similar cu regulile de acțiune cu numere întregi), și apoi se dovedește că, în orice inel atunci când este multiplicată minus la plus minus spire.

Ring este un set cu două operații binare (adică în fiecare operațiune implicat doi membri ai inelului ..), care este numit în mod tradițional, plus și de multiplicare, precum și următoarele axiome:

• Adiția se supune elementelor inelare comutative (A + B = B + A pentru orice elemente A și B) și asociative (A + (B + C) = (A + B) + C) legi; inelul are un element special 0 (elementul neutru plus) astfel încât A + 0 = A. și orice element A are elementul opus (menționat (-A)), ca A + (-A) = 0;
• multiplicare se supune legii asociativă: A · (B · C) = (A · B) · C;
• Plus și multiplicarea sunt conectate astfel brackets reguli de publicare: (A + B) · C = A · C + B · C și A · (B + C) = A · B + A · C.

Rețineți că inelul, în designul său cel mai general, nu necesită nici o comutativitatea de multiplicare, nici reversibilitatea acesteia (de exemplu, partajarea nu este întotdeauna posibil ..), Existența unităților audio - element de neutru pentru multiplicare. Dacă introduceți aceste axiome, obținem celelalte structuri algebrice, dar ele vor fi adevărate toate teoremele dovedit pentru inele.

Demonstrăm acum că pentru orice inele de elemente A și B dreapta arbitrar, în primul rând, (-A) · B = - (A · B). și pe de altă parte (- (- A)) = A. Din aceasta este ușor afirmații despre unitățile: (-1) · 1 = - (1 x 1) = 1 și (-1) + (-1) = - ((-1) · 1) = - (- 1) = 1.

Pentru a face acest lucru, trebuie să se stabilească unele fapte. Mai întâi dovedesc că poate exista doar un singur opus fiecare element. De fapt, lasa un element are două opuse: B și C. Aceasta este, A + B = 0 = A + C ia în considerare suma A + B + C Folosind asociativ și legea comutativă și proprietatea zero, constatăm că, cu o parte, suma este B: B = B + 0 = B + (a + C) = a + B + C. Pe de altă parte, este C: a + B + C = (a + B) + C = 0 + C = C. Apoi, B = C.

Acum, rețineți că A. și (- (- A)) sunt opuse unul și același element (-A). astfel încât acestea ar trebui să fie egale.

Pentru a fi matematic riguros, explica de ce încă 0 · B = 0 pentru orice element B. De fapt, 0 · B = (0 + 0) B = 0 ° B + 0 · B. Aceasta este, adăugarea de 0 · B nu se schimba suma. Deci, acest produs este zero.

Iar faptul că inelul este exact un zero (deoarece axiome se spune că există un astfel de element, dar nu se spune nimic despre unicitatea sa!), Lăsăm cititorului ca un simplu exercițiu.