Toate elementare Matematică - Ghid de studiu - Geometrie - planimetrie - Triangle
Triangle. Ascutitunghic, obtuz și unghi drept triunghi.
Picioarele și ipotenuza. Isoscel și triunghi echilateral.
Proprietățile de bază ale triunghiurilor. Suma unghiurilor unui triunghi.
Unghiul exterior al triunghiului. Semne de egalitate de triunghiuri.
Semne de egalitate de triunghiuri drepte.
Linii remarcabile și puncte ale triunghiului: înălțimea, mediana,
bisectoare, perpendicularele e mediane orthocenter,
centrul de greutate al centrului cercului circumscris, centrul cercului înscris.
Teorema lui Pitagora. Raport de aspect într-un triunghi arbitrar.
Triangle - un poligon cu trei laturi (sau trei unghiuri). latură a triunghiului este adesea notată cu litere mici, care corespund cu majuscule, indicând nodurile opuse.
Dacă toate cele trei unghiuri sunt acute (Figura 20), este un triunghi unghi acut. Dacă unul dintre unghiuri este drept (C, Figura 21), atunci acesta este un triunghi dreptunghic; o alta. b. formând un unghi drept, numit picioare; laterale c. vizavi de unghiul drept este numit ipotenuzei. Dacă unul dintre unghiuri este obtuz (B, figura 22), este un triunghi obtuz.
ABC triunghi (figura 23) - isoscel. în cazul în care două dintre laturile sale sunt egale (a = c); laturile egale sunt numite lateral. a treia parte este numită baza de triunghi. ABC triunghi (figura 24) - echilateral. dacă toate laturile sale sunt egale (a = b = c). În cazul general (a ≠ b ≠ c) au un triunghi scalen.
Proprietățile de bază treugolnikov.V orice triunghi:
1. În cele mai multe părți este mai mare unghi, și vice-versa.
2. opuse laturile egale sunt unghiuri egale, și vice-versa.
În special, toate colțurile unui triunghi echilateral sunt egale.
3. suma unghiurilor unui triunghi este de 180 °.
Ultimele două proprietăți rezultă că fiecare colț al unui echilateral
triunghi este de 60 °.
4. Continuând una dintre laturile triunghiului (AC. Figura 25), obținem extern
Unghiul BCD. Unghiul exterior al triunghiului este egal cu suma unghiurilor interioare,
nu sunt legate de el. BCD = A + B.
5. Lyubayastorona triunghi este mai mică decât suma celorlalte două părți și mai mult
diferența lor (o b - c; b a - c; c a - b).
Semne de egalitate de triunghiuri.
Triunghiurile sunt egale, dacă acestea sunt egale cu:
a) două laturi și un unghi între ele;
b) două unghiuri și latura adiacentă;
Semne de egalitate de triunghiuri drepte.
Un triunghiuri unghi-va sunt congruente, în cazul în care una dintre următoarele condiții:
1) sunt egale cu picioarele;
2) cateta și ipotenuza triunghiului sunt catete egale și ipotenuza celeilalte;
3) ipotenuză și un unghi ascuțit al triunghiului și ipotenuzei este egal cu unghiul ascuțit al celuilalt;
4) și piciorul adiacent unghiul ascuțit al triunghiului sunt egale cu un picior și un unghi ascuțit adiacent alteia;
5) și opus catete unghiul ascuțit al triunghiului sunt egale cu un picior și un unghi ascuțit opus alteia.
linii remarcabile și puncte ale unui triunghi.
Înălțimea triunghiului - este perpendicular pe orice vertex pe partea opusă (sau continuarea acesteia). Această parte se numește baza triunghiului. Trei înălțime triunghi peresekayutsyav întotdeauna un punct. numit orthocenter triunghiului. Orthocenter triunghi acută (punctul O. Figura 26) este situată în interiorul triunghiul, orthocenter și triunghiul obtuze (punctul O. fig.27) - exterior; orthocenter triunghi coincide cu unghi drept la vârf.
Median - un segment. conectarea oricărui vârf al triunghiului cu punctul median al triunghiului opus storony.Tri mediana (.. AD BE CF fig.28) se intersectează într-un punct O. se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este punctul central tyazhesti.Eta său împarte fiecare mediană în raport 2: 1 numărare din partea de sus.
Bisectoare - un segment al bisectoarea de la vârful până la intersecția cu opus triunghiul storonoy.Tri bisectoarea (AD BE CF fig.29 ..) intersecteze un punct O se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este centrul cercului inscris (a se vedea „secțiunea Inscripționată. și circumscrisă poligoane „).
Bisector împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente; de exemplu, în Figura 29 AE. CE = AB. BC.
Mediana perpendiculara - este perpendiculară trasată de la punctul de mijloc al segmentului (lateral). Trei perpendicularele mediane ale triunghiului ABC (... KO MO NO Fig.30) se intersectează într-un punct O, care tsentromopisannogo cerc (punctul K. M. N - mijloc de triunghi laturile ABC).
Într-un triunghi-acută, acest punct se află în interiorul triunghiului; într-un obtuz - exterior; într-un drept - în mijlocul ipotenuzei. Orthocenter, centrul de greutate, centru al circumscrisă și centrul cercului înscris coincid doar într-un triunghi echilateral.
Teorema Pifagora.V triunghi ipotenuza pătrat lungime egală cu suma pătratelor lungimilor picioarelor.
Dovada teorema lui Pitagora reiese din Fig.31. Luați în considerare un triunghi dreptunghiular ABC cu picioare o. b și c ipotenuza.
Noi construim o AKMB pătrat. Utilizarea AB ca partea ipotenuzei. Apoi vom continua partea unui triunghi ABC dreapta, astfel încât să se obțină CDEF pătrat. parte care este egală cu a + b. Este acum clar că o suprafață pătrată CDEF este (a + b) 2. Pe de altă parte, această zonă este suma zonelor de patru triunghiuri unghi drept și AKMB pătrat. care este
și în final avem:
Raport de aspect într-un triunghi arbitrar.
În cazul general (pentru triunghi arbitrar), avem: