Matrici, determinanti, sisteme de ecuații liniare
matrice Definite. TIPURI DE MATRIX
Matrix dimensiune m × n este multimea m · n numere aranjate într-o matrice rectangulară de m linii și n coloane. Acest tabel este de obicei între paranteze. De exemplu, matricea poate fi:
Pentru concizie, matricea poate fi notată cu o singură literă majusculă, cum ar fi A sau B.
În general, dimensiunea matricei m × n scris ca
Numerele care alcătuiesc matrice, numit elementele matricei. Elementele matricei este convenabil de a furniza doi indici aij. primul indică numărul liniei, iar al doilea - numărul coloanei. De exemplu, a23 - element este în al 2-lea rând, coloana 3-a.
În cazul în care numărul de rânduri în matrice este egal cu numărul de coloane, matricea pătrată se numește. în plus, numărul de rânduri sau coloane ale matricei sale se numește un ordin. Exemplele de mai sus sunt matrice pătratică a doua - ordinea sa este egal cu 3, iar a patra matrice - procedura sa de 1.
Matricea în care numărul de linii nu este egal cu numărul de coloane, numite dreptunghiulare. În exemple, aceasta este prima și a treia matrice.
De asemenea, sunt diferite matrici având un singur rând sau o singură coloană.
Matricea, care este doar o singură linie, numită matricea - rând (sau șir) și matricea în care doar o singură matrice coloană - coloana.
Matrix ale cărui elemente sunt egale cu zero se numește zero și notat cu (0), sau un 0. De exemplu,
Diagonala principală a unei matrice pătratică va fi numit pe diagonală din stânga sus la colțul din dreapta jos.
O matrice pătrată, în care toate elementele aflate sub diagonala principală sunt zero, numita matrice triunghiulară.
O matrice pătrată, în care toate elementele, cu excepția, eventual, pentru picioare pe diagonala principală sunt zero, numita matrice diagonală. De exemplu ,, sau.
Matricea diagonală a cărei diagonală elemente sunt egale cu unitatea se numește o matrice de identitate și este notat cu litera E. De exemplu, o matrice unitară de ordinul 3 are forma.
ACȚIUNE pe matrici
Egalitatea de matrici. Două matrici A și B se numesc egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele respective sunt aij = bij. Astfel, dacă u, atunci A = B. Dacă = A11 B11. a12 = b12. a21 = B21 și A22 = B22.
Transpunerea. Să considerăm o matrice A arbitrar de m linii și n coloane. Puteți asocia o matrice B de m linii și n coloane, în care fiecare rând de matricei A este coloana cu același număr (și, prin urmare, fiecare coloană este rândul matricei A cu același număr). Deci, dacă, atunci.
Această matrice B se numește o matrice transpusa A. o tranziție de la A la B prin transpunere.
Prin urmare, transpunere - o schimbare rolurilor de rânduri și coloane ale matricei. Matricea transpusa a matricei A. notate uzual A T.
Comunicarea între matricea A și transpusa ei pot fi scrise.
De exemplu. Găsiți matricea transpune acest lucru.
Adăugarea de matrici. Lăsați matricele A și B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică au aceleași dimensiuni. Apoi, pentru a se stabili matricea A și B trebuie să adăugați elementele matricei A elementele matricei B. stând în același loc. Astfel, suma a două matrici A și B este C. matricea care este determinată de o regulă, de exemplu,
Exemple. Găsiți suma matrici:
Este ușor de verificat că adăugarea de matrici se supune următoarelor legi: A + B = B + A și asociativ comutativ (A + B) + C = A + (B + C).
Multiplicarea unei matrice printr-un număr. Pentru a multiplica matricea A de numărul de k nevoie de fiecare element al matricei A este înmulțită cu acest număr. Astfel, matricea produsului A k este numărul de matrice nouă, care este determinată de o regulă sau.
Pentru orice numere a și b și matricele A și B următoarele ecuații dețin:
Matricea C nu poate fi găsit, deoarece Matricea A și B au diferite dimensiuni.
matrice de multiplicare. Această operație este realizată printr-o lege aparte. În primul rând, rețineți că dimensiunea matricei-factori trebuie să fie coordonate. Se pot multiplica numai acele matrici în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri de-a doua matrice (adică, prima lungime linie egală cu înălțimea celei de a doua coloană). Un produs matrice al matricei B nu este numită matrice nouă C = AB. în care elementele sunt realizate după cum urmează:
Astfel, de exemplu, pentru a primi pentru produsul (adică matricea C), elementul în picioare, în primul rând și al 3-lea C13 coloană. Avem nevoie în prima matrice de a lua primul rând, a 2 - coloana 3, elementele de linie și apoi înmulțit cu elementele corespunzătoare ale coloanei și produsul rezultat pliat. Și alte elemente ale produsului matrice obținută cu ajutorul unui produs similar al unei prime matrice de rânduri în coloane din a doua matrice.
În general, dacă vom multiplica matricea A = (aij) dimensiune m × n matrice pe B = (bij) dimensiune n × p. C obținem o m dimensiune matrice × p. elementele care se calculează după cum urmează: cij elementul obținut prin produsul matricei elementelor i th rând A elemente j corespunzătoare th coloană a matricei B și adăugarea lor.
Această regulă ar trebui să fie că este întotdeauna posibil să se multiplice două matrice pătrate de aceeași ordine, ca rezultat vom obține o matrice pătrată de același ordin. În special, acesta poate fi întotdeauna o matrice pătratică se multiplica pe sine, adică pătrat.
Un alt caz important este multiplicarea matricei a rândului pe matricea coloanei, cu o primă lățime trebuie să fie egală cu cea de a doua înălțime, ca urmare a obține o matrice de ordinul întâi (adică un singur element). De fapt,
, B · A - nu are nici un sens.
Astfel, aceste exemple simple arată că matricile în general, nu fac naveta unul cu celălalt, adică, A # 8729; B ≠ B # 8729; A. Prin urmare, în multiplicarea matricelor trebuie să urmeze cu atenție ordinea factorilor.
Puteți verifica că matrice de multiplicare se supune legilor asociative și distributive, adică (AB) C = A (BC) și (A + B) C = AC + BC.
De asemenea, este ușor de verificat că atunci când este multiplicată cu matrice pătratică A este matricea identitate E din aceeași ordine din nou, se obține o matrice A. Mai mult decât atât, AE = EA = A.
Se poate observa următorul fapt interesant. Ca cunoscut produs 2 numere nenule nu este egal cu 0. Pentru matrici nu pot să apară, de exemplu, produs 2 nu sunt zero, matricele pot fi setate la matricea zero.
De exemplu. în cazul în care atunci
Să se dea oa doua matrice ordine - matricea pătrată constând din două rânduri și două coloane.
Determinantul de ordinul al doilea. în consecință această matrice, denumit număr obținut după cum urmează: a11 a22 - a12 a21.
Determinantul este notat.
Deci, în scopul de a găsi determinantul de ordinul al doilea nevoie de la un produs de elemente ale diagonalei principale scade produsul elementelor de-a doua diagonală.
Exemple. Se calculează identificatorul secundar.
În mod similar, putem considera matricea de al treilea ordin și determinantul corespunzător ei.
Determinantul treilea ordin. în consecință, această a treia comandă matrice pătrată, numărul apelat și notate obținut după cum urmează:
Astfel, această formulă dă descompunere determinant elemente de ordinul trei ale primului rând A11. A12. A13 și reduce calcularea determinantului al treilea ordin de a calcula determinant de ordinul al doilea.
Exemple. Calculați determinant al treilea ordin.
În mod similar, putem introduce conceptul de determinanții a patra, a cincea, etc. comenzi, reducând descompunerea lor ordinea elementelor prima linie, semnul „+“ și „-“ în termeni alternativi.
Astfel, spre deosebire de matrice, care reprezintă un tabel de numere determinant este un număr care este plasat într-un anumit mod în matrice conformitate.