Matematica triunghi arbitrar

Principalele teoreme și formule ale geometriei plane Teorema lui Thales. Dacă linii paralele care intersectează laturile de colț, taie pe o parte a segmentelor egale, atunci aceste linii drepte tăiate de pe cealaltă parte este, de asemenea, segmente egale. Teorema lui Pitagora. În triunghi dreptunghic, ipotenuza este egală cu pătratul sumei pătratelor picioarelor: 2 = a 2 + b 2. Un arbitrar triunghi a, b, c - partea; - opuse colțuri ale acesteia; p - semiperimetrul; R - raza cercului; r - raza cercului inscris; S - suprafață; ha - înălțimea atras de partea unui. S = pr. unde p = 1/2 (a + b + c) Soluție triunghiuri teorema cosinusului. Teorema sine. lungimea mediană a triunghiului :. Lungimea laturilor triunghiului prin mass-media :. Lungimea bisectoarea triunghiului :. Proprietăți echilateral triunghi bisectoare colțul interior al CM - bisectoarea unghiului C, în triunghiul ABC lungimea bisector :. lungimea mediană :. lungime înălțime :. Existența unui cerc descris despre un triunghi:

• toate cele trei triunghi de mijloc se intersectează perpendicular la un punct și acest punct este centrul cercului. Descris un cerc în jurul unui triunghi există întotdeauna și este unic;
• centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghiular ipotenuzei este mijlocul.

Existența incircle:

• toate cele trei Bisectors ale unui triunghi se intersectează într-un punct, iar acest punct este centrul cercului inscris;
• un cerc înscris într-un triunghi există întotdeauna și este unic.

Segmente și cercuri asociate cu un triunghi de cercuri tangente la toate cele trei laturi ale unui triunghi se numește cercul înscris. Cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale unui triunghi se numește cercul circumscris. Cele trei medianele ale unui triunghi se intersectează la un moment dat. Acest punct de intersecție se numește centroidul sau centrul de greutate al triunghiului. Centroidul împarte fiecare mediană în raport gravimetric de 1: 2, pornind de la baza mediana. Trei înălțime triunghi se intersectează într-un punct numit orthocenter triunghiului. Cele Bisectoarele unui triunghi se intersectează la un moment dat. iar acest punct coincide cu centrul cercului înscris. Într-un triunghi echilateral, bisectoarea, mediana și înălțimea luată la baza aceeași. Pe de altă parte, în cazul în care bisectoare, mediana și altitudinea trasată de la un nod pentru a coincide, atunci triunghiul este isoscel. În cazul în care-triunghi fețe, atunci orice bisectoarea vârf trase din ea, se află între mediana și extrase din aceeași înălțime la vârf. Mid-perpendicularele la laturile triunghiului și se intersectează într-un punct, care coincide cu centrul cercului circumscris. In afara cercului inscris este numit tangenta cerc la o latură a triunghiului și continuarea celorlalte două părți. Mijloace de trei laturi ale triunghiului, baza și înălțimi ale sale trei mijlocul trei segmente care leagă nodurile cu orthocenter, se află pe un cerc, numit cercul de nouă puncte. In orice centru triunghi de greutate, orthocenter, centrul cercului circumscris și un centru de cerc de nouă puncte se află pe o linie dreaptă, numită linia Euler. Segmentul care conectează mijlocul laturilor triunghiului unui triunghi se numește linia de mijloc. Linia mediană a triunghiului are proprietatea - este paralelă cu baza triunghiului și este egală cu jumătate său. Proprietățile medianele triunghiului

• Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de suprafață egală.
• Medianele unui triunghi se intersectează la un moment dat. care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2: 1, pornind de la partea de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
• Total triunghi este împărțit în șase medianele lor de triunghiuri egale.

altitudini Proprietăți ale unui triunghi

• Într-un triunghi dreptunghic înălțimea trase din partea de sus a unghiului drept, se împarte în două triunghiuri similare cu originalul.
• Într-un triunghi-acută, înălțime două triunghiuri similare sale tăiat de la el.
• În cazul în care un triunghi-acut, baza tuturor înălțimi aparțin laturi ale triunghiului, și triunghi obtuz în două înălțimi cad pentru a continua petrecerea.
• Trei înălțime în triunghi acută se intersectează într-un punct, iar acest punct se numește orthocenter triunghiului.

Proprietățile mijlocul normalele triunghiului

• Fiecare punct al perpendiculara pe segmentul de linie este echidistant față de capetele acestui segment. Converse este de asemenea adevărat: fiecare punct echidistant față de capetele segmentului se află pe perpendicular pe acesta.
• Punctul de intersecție midperpendiculars a avut loc pe laturile triunghiului este centrul unui cerc al triunghiului.

Criterii de triunghiuri similaritate

1. cele două colțuri;
2. două părți proporționale și unghiul dintre ele;
3. pe trei laturi proporționale.

Exemplul 1. Care dintre următoarele afirmații nu este adevărată?

1) Orice două triunghiuri echilaterale sunt similare. 2) Orice două triunghiuri isoscele dreapta sunt similare. 3) Orice două triunghiuri unghiulare inegale cu hypotenuses egale similare. 4) În cazul în care perimetrele includ triunghiuri cum ar fi 3: 2, suprafețele acestor triunghiuri sunt ambele 9: 4.

1) 3 și 4; 2) nu necredinciosi; 3) 3; 4) 4. Soluție.

1) este adevărat, deoarece triunghiuri sunt similare în cazul în care unghiurile lor sunt egale. 2) Adevărat, pentru că triunghiuri sunt similare pentru cele două colțuri. 3) nevalid. De exemplu, triunghiuri în unghi drept cu ipotenuza 5 și picioarele 3 și 4 din primul, al doilea și picioarele (rețineți că () 2 + () 2 = 5 2). Mai mult decât atât, picioarele nu sunt proporționale. Și, apoi, triunghiuri nu sunt similare. 4) Este adevărat că în cazul în care raportul dintre dimensiunile liniare ale acestor cifre este egal cu k. raportul dintre aria acestor cifre este k 2.

Răspuns: 3. Exemplul 2 Side triunghi echilateral este 10. Găsiți zona sa. Decizie. BH = 1/2 BC. Prin teorema lui Pitagora: A: 25. Exemplul 3. In partea de triunghi lateral isoscel este de 10, iar unghiul opus bazei culcat este de 120. Găsiți zona triunghiului. Decizie. BH = AB cos30 = 10/2 = 5. Apoi BC = 2VN = 10. AH = AB sin30 = 10/2 = 5 A: 25. Exemplul 4. isoscel laterale triunghi lateral este de 10, iar unghiul opus situată de bază este egal cu 135, de bază. Găsiți zona triunghiului. Decizie. Rețineți că această condiție suplimentară (aproximativ bază) în problema. Răspuns: 25. Exemplul 5. Într-un triunghi una dintre laturile este egal cu 10, iar celălalt este de 12, iar cosinusul unghiului dintre ele este egal. Găsiți zona triunghiului. Decizie. Răspuns: 20. Exemplul 6. Într-un triunghi una dintre laturile este egal cu 10, iar celălalt este de 12, iar tangenta unghiului dintre ele este egal. Găsiți zona triunghiului. Decizie. Răspuns: 20. Exemplul 7. Aria triunghiului ABC este de 30 cm 2. Pe partea de curent alternativ este luat un punct D, astfel încât AD: DC = 2: 3. Lungimea perpendicularei DE, a avut loc la laturile BC, egal cu 9 cm. Găsiți BC. Decizie. Desenați BD; triunghiuri ABD și BDC au o înălțime totală de BF; în consecință, suprafața lor tratată ca lungimea de baze, adică, . Din care de altă parte, în cazul în care BC = 4 cm A :. BC = 4, vezi exemplul 8. În triunghiul ABC, AB = 5 cm, C 30 este egal. Găsiți raza cercului. Decizie. Conform legii Sines, avem mijloacele, adică . Succesiv vom găsi 2R = 10. adică R = 5 cm A: .. 5, vezi exemplul 9. triunghi Aproximativ isoscel cu o bază de curent alternativ și unghiul de bază 75 descrie un cerc cu centrul O. găsi raza, în cazul în care aria triunghiului BOC este 16. Soluție.

Date fiind: ABC - isoscel, AC - bază, ACB = 75, SBOC = 16 Găsire: R - raza circumscris

ABC - isoscel, BH - mediana, prin urmare, BH - înălțime, și deci HBC - dreptunghiular HBC = 90 - ACB, HBC = 90-75 = 15 BO = OC = R., prin urmare, BOC - isoscel înseamnă OBC = OCB = 15 COB = 180 - (OBC + OCB), COB = 180 - (15 + 15) = 150 S = (BO ∙ OC păcat BOC) / 2. SBOC = (R ∙ R ∙ păcat 150) / 2 = (R ∙ R) / 4 = R 2/2; R 2/4 = 16; R2 = 64; R = A 8: 8. Exemplul 10. ascutitunghic triunghi isoscel cu un CD BCD de bază, la 16, se înscrie într-un cerc cu centrul O și raza 10. Localizați aria triunghiului BOC. Decizie. Deoarece BCD - isoscel, CD = 16. în consecință, DH = HC = 8. DOH - dreptunghiular. Prin teorema lui Pitagora: OH 2 = 10 2 - 8 2 OH 2 = 100 - 64 = 36, OH = 6 BH = BO + OH = 10 + 6 = 16 Prin teorema lui Pitagora: BC 2 = 16 2 + 8 2 = 256 + 64 = 320 BC = 8. KBO HBC SBOK = 20 SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40 A: 40. Exemplul 11 ​​Un cerc înscris într-un triunghi isoscel privește laturile sale la punctele K și A. Punctul K împarte latura triunghiului pe segmentele 15 și 10 pornind de jos. Găsiți lungimea segmentului KA. Decizie.

Dano: BCD - isoscel, K Je BC, A Je DC, BK = 15, KC = 10 Gaseste: KA.

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 2 May CK = CA = 10 (segmente de linie tangentă trasată de la un punct), CB = CD. prin urmare, AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (segmente de linie tangentă trasată de la un punct), și în consecință, BD = 15 + 15 = 30 CKA