Cum să demonstreze că triunghiul este ascutitunghic 3

§ 4. Schwarz triunghi

1. Dovada prezentată de Schwartz

Amandus Shvarts german (1843-1921). un matematician distins, profesor la Universitatea din Berlin, a făcut mult pentru dezvoltarea teoriei moderne a funcțiilor și a analizei. El nu a ținut cont de sub demnitatea lor de a scrie pe tema conținutului elementar, și una din lucrările sale consacrate următoarea problemă: în triunghiul ascutitunghic înscris în fiecare triunghi cu perimetru minim. (Când spunem că un triunghi este înscris în acest sens, ne referim la faptul că pe fiecare latură a triunghiului este un vârf al triunghiului în cauză.) Vom vedea mai târziu că există doar un singur triunghi este necesar: și anume, nodurile sale sunt înălțimea de bază a triunghiului. Acest triunghi va fi numit o altitudine triunghi.

Schwartz a demonstrat proprietatea minimă a altitudinii triunghiului, folosind metoda de reflecție și bazată pe teorema următoare geometriei elementare: (. Figura 197) În fiecare dintre nodurile P, Q, R cele două părți ale altitudinii triunghiului face unghiuri egale cu latura triunghiului, că fiecare dintre aceste unghiuri este egală cu colțul de la vârful opus al triunghiului. De exemplu, colțurile ARQ și BRP sunt fiecare colț C și t. D.

Fig. 197. altitudine triunghi în AVS triunghi

Demonstrăm mai întâi teorema. Deoarece unghiurile ODS și ORB drepte, despre OPBR patrulater poate descrie un cerc. În consecință, ∠PBO = ∠PRO, deoarece unghiurile menționate se bazează pe același arc de cerc descris. Dar, unghiul de RVO complementar unghiului C, sub formă de triunghi CBQ dreptunghiular, iar unghiul la colțul al PRO BCT suplimentare. De aceea ∠PRB = ∠C. În același mod, vorbind despre QORA Quadrangle. ajung la concluzia ca ∠QRA = ∠C și t. d.

Acest rezultat conduce la investigația privind triunghiul altitudinii: deoarece, de exemplu, ∠AQR = ∠CQP. apoi reflectarea în partea laterală a triunghiului AC RQ partea trimis de PQ lateral, și vice-versa. În mod similar, pentru celelalte părți.

Să ne întoarcem acum la dovada altitudinea minimă a proprietății triunghi. În triunghiul ABC, ia în considerare, împreună cu triunghiul de altitudine, un alt triunghi înscris, să zicem, UVW. Capturați prima piesă în ceea ce privește partea de curent alternativ a triunghiului ABC, apoi redobândi cifra reflecta latura relativă AB, apoi - în raport cu soarele, apoi - în raport cu UA și, în cele din urmă, în ceea ce privește AB. Astfel, vom obține un total de șase triunghiuri congruente, și triunghi mare creștere și chiar și alte triunghi înscris (fig. 198) vor fi acordate în fiecare dintre ele. partea Soare a ultimului triunghi este paralelă cu prima latură a triunghiului Soarelui De fapt, în prima parte reflexie BC rotește reflecție laterală UL este rotită în sens orar cu un unghi 2C. apoi din nou în sens orar unghiul 2B. la a treia reflecție - rămâne neschimbat; la a patra - 2C se rotește în sens antiorar și a cincea - 2B din nou printr-un unghi de ceasornic. Unghiul total totală de direcție este zero.

Fig. altitudine 198. Proprietățile dovada minimă a triunghiului dat de Schwartz

Datorită proprietăților de mai sus ale segmentului de triunghi linia de altitudine PP „egală cu dublul perimetrului PQR triunghiului: într-adevăr, PP“ este format din șase segmente, la rândul lor, fiind egale și primul, al doilea și PQR partea a treia, fiecare parte laterală de două ori. line La fel rupt conectarea U și U „are o lungime egală cu de două ori perimetrul triunghiului UVW. Această linie întreruptă nu este mai scurt decât segmentul de linie UU“. În ceea ce privește segmentul de linie dreaptă UU „este PP“ ca segmentul UU «este paralelă cu PP». Deci, linia întreruptă UU „nu este mai scurtă decât linia dreaptă PP“, T. E. Mare creștere perimetrul triunghiului nu este mai mare decât perimetrul oricărui alt triunghi înscris în acest sens. De asemenea, a trebuit să dovedească. Deci, sa constatat că minimul există și că este pus în aplicare în cazul de mare altitudine a triunghiului. Că nu există nici un triunghi înscris cu același perimetru - acest lucru, cu toate acestea, nu a fost dovedită, iar noi vom demonstra în continuare.