Termenii calcula derivați

Dacă funcția elementară înmulțit cu o constantă arbitrară, atunci derivatul cu noile caracteristici este, de asemenea, ușor să fie luate în considerare:

In general, constanta poate fi luată ca un semn al derivatului. De exemplu:

(2 x 3) = 2 · (x 3) = 2 x 3 x 2 = 6 x 2.

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate unul de altul, se multiplică, se divid - si multe altele. Deci, vor exista noi caracteristici nu au într-adevăr elementar, dar, de asemenea, diferențiate în funcție de anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivatul sumei și diferenței

Să o funcție f (x) și g (x), derivații care ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare, care sunt discutate mai sus. Apoi, putem găsi derivat din suma și diferența dintre aceste funcții:

Astfel, derivatul sumei (diferenței) a două funcții este egală cu suma (diferența) a derivaților. Termenii pot fi mai lung. De exemplu, (f + g + h) '= f' + g '+ h'.

Strict vorbind, în algebră, nu există conceptul de „scădere“. Există conceptul de „element negativ“. Prin urmare, diferența f - g poate fi rescrisă ca suma f + (-1) · g. și apoi va fi doar o singură formulă - cantitatea derivată.

Sarcină. Găsiți funcții instrumente derivate: f (x) = x 2 + sin x; g (x) = x 4 + 2 x 2 - 3,.

Funcția f (x) - este suma celor două funcții elementare, astfel:

f '(x) = (x 2 + sin x)' = (x 2) '+ (sin x)' = 2 x + cos x;

In mod similar argumentăm pentru funcția g (x). Numai acolo pentru trei termeni (din punct de vedere al algebrei)

g '(x) = (x 4 + 2 x 2 - 3,)' = (x 4 + 2 x 2 + (-3)) „= (x 4) + (2 x 2) + (3) = 4 x 4 + 3 x + 0 = x 4 · (x 2 + 1).

răspundă:
f „(x) = 2 x + cos x;
g „(x) = 4 x · (x 2 + 1).

lucrare derivată

Matematica - știința logică, prin urmare, mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume egale cu suma derivatelor, lucrările derivate grevă „> este egal cu produsul dintre derivații Dar lucrările derivate vă FIG este considerată o formulă cu totul diferită, și anume:.!.

(F · g) '= f' · g + f · g '

Formula este simplă, dar este adesea trecute cu vederea. Nu numai studenți, ci și elevi. Rezultatul - o sarcină decizie greșită.

Sarcină. Găsiți funcții instrumente derivate: f (x) = x 3 · cos x; g (x) = (x 2 + 7 x - 7) · e x.

f (x) funcție este produsul a două funcții elementare, deci este simplu:

f '(x) = (x 3 · cos x)' = (x 3) '· cos x + x 3 · (cos x)' = 3 x 2 · cos x + x 3 · (- sin x) = x 2 · (3cos x - x · sin x)

La funcția g (x) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generală rămâne aceeași. Evident, funcția g primul factor (x) este un polinom și derivatul său - o sumă derivat. Avem:

g '(x) = ((x 2 + 7 x - 7) · ex)' = (x 2 + 7 x - 7) '· ex + (x 2 + 7 x - 7) · (ex)' = ( 2 x + 7) · ex + (x 2 + 7 x - 7) · ex = ex · (x + 2 + 7 x 2 + 7 x -7) = (x 2 + 9 x) · ex = x (x + 9) · ex.

răspundă:
f „(x) = x 2 · (3cos x - x · sin x);






g „(x) = x (x + 9) · e x.

Rețineți că ultima etapă a derivatului este descompus în factori. nu este necesar în mod oficial, dar cei mai mulți derivați sunt calculate nu de la sine, ci pentru a examina funcția. Deci, pe derivatul va fi egal cu zero, aceasta va deveni semne clare, și așa mai departe. Pentru acest caz, este mai bine să aibă o expresie de factoring.

Derivata privat

Dacă există două funcții f (x) și g (x), unde g (x) ≠ 0 pe platourile de interes pentru noi, putem defini o nouă funcție h (x) = f (x) / g (x). Pentru o astfel de funcție, de asemenea, poate găsi derivat:

Nu este slab, nu-i asa? În cazul în care a făcut negativ? De ce g 2. Iată cum! Aceasta este una dintre formulele cele mai complexe - fără o sticla pe care nu va înțelege. Prin urmare, este mai bine pentru a studia exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivați de funcții:

Numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt funcții elementare, deci tot ce avem nevoie - un derivat cu formula privat:

Prin tradiție, extindeți factoring numărătorul - aceasta va simplifica foarte mult răspunsul:

Derivata funcției compozit

Funcția complexă - nu este neapărat o formulă pentru o jumătate de kilometru lungime. De exemplu, este suficient pentru a lua funcția f (x) = sin x și înlocuiți variabila x. să zicem, x 2 + ln x. Ia-f (x) = sin (x 2 + ln x) - aceasta este o funcție complexă. Ea are, de asemenea, un derivat, cu toate acestea, se găsesc pe regulile discutate mai sus, nu va funcționa.

Ce să fac? In astfel de cazuri, aceasta ajută la schimbarea formulei variabile și un derivat al unei funcții compozit:

f '(x) = f' (t) · t“, dacă x se înlocuiește cu t (x).

Ca o regulă, cu înțelegerea acestei formule, situația este chiar mai nefericit decât derivatul privat. Prin urmare, este, de asemenea explica mai bine exemplele specifice, cu descrierea detaliată a fiecărui pas.

Sarcină. Găsiți funcții instrumente derivate: f (x) = e 2 x + 3; g (x) = sin (x 2 + ln x)

Rețineți că, dacă funcția f (x) în locul expresiei 2 x + 3 este doar x. obținem o funcție elementară f (x) = e x. Prin urmare, am face schimbarea: lasa 2 x + 3 = t. f (x) = f (t) = e t. Cautam un derivat complex de funcții cu formula:

f '(x) = f' (t) · t '= (e t)' · t '= e t · t'

Și acum - atenție! Se efectuează substituție inversă: t = 2 x + 3. Obținem:

f '(x) = e t · t' = e 2 x + 3 + (2 x + 3) „= e 2 x + 2 = 3 · 2 · e 2 x + 3

Acum, să se ocupe cu funcția g (x). Evident, trebuie să înlocuim x 2 + ln x = t. Avem:

g '(x) = g' (t) · t '= (sin t)' · t '= cos t · t'

Contact substitut: t = x 2 + ln x. apoi:

g '(x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x)' = cos (x 2 + ln x) · (2 ​​x + 1 / x).

Asta este! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă se reduce la calcularea sumei derivatului.

răspundă:
f „(x) = 2 · e 2 x + 3;
g „(x) = (2 x + 1 / x) · cos (x 2 + ln x).

Foarte des în sălile de clasă lor, în loc de termenul „derivat“ Eu folosesc cuvântul „bara“. De exemplu, bara din suma egala cu suma de accident vascular cerebral. Deci, clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calculul derivat este redus pentru a scăpa de cele mai multe dintre aceste accidente vasculare cerebrale pe regulile discutate mai sus. Ca un ultim exemplu, să ne întoarcem la gradul derivat cu exponent rațional:

(X n) „= n · x n - 1

Puțini oameni știu că rolul n poate servi un număr fracționar. De exemplu, rădăcină - o x 0,5. Și ce, dacă ceva va fi sub rădăcina îngrămădite? obține din nou funcția de complicată - astfel de construcții ca să dea testele și examenele.

Sarcină. Găsiți derivata funcției:

Pentru a începe, vom rescrie radacina ca o putere cu exponent rațional:

f (x) = (x 2 + 8 x - 7) 0.5.

Acum vom face schimbarea: lasa x 2 + x 8-7 = t. Găsim derivatul cu formula:

f · t '= 0,5 · t -0,5 · t' '(x) = f' (t) · t '= (t 0,5)'.

Efectuarea substituția inversă: t = x 8 + 2 x - 7. Avem:

f „(x) = 0,5 · (x 2 + 8 x - 7) -0,5 · (x 2 + 8 x - 7) = 0,5 x (2 x + 8) · (x 2 + 8 x - 7) -0.5.

În cele din urmă, ne întoarcem la rădăcini:

• Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
•