Proprietățile unui triunghi isoscel 1

Proprietățile unui triunghi isoscel exprimă următoarea teoremă.

TEOREMA 1. isoscel triunghiul unghiurile de bază sunt egale.

Teorema 2. Într-un triunghi isoscel bisectoarea trase la baza, este mediana și înălțimea.

Teorema 3. Într-un triunghi isoscel, mediana trase la bisects de bază și înălțime.

Teorema 4. Într-un triunghi isoscel înălțimea trase la baza, este bisectoarea și mediana.

Vom dovedi unul dintre ele, de exemplu, Teorema 2.5.

Dovada. Să considerăm un triunghi isoscel ABC cu BC de bază și să demonstreze că AD ∠ ∠ B = C. Let - bisector al triunghiului ABC (figura 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale la primul semn al egalității de triunghiuri (AB = AC, prin ipoteză, AD - partea comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD ​​- bisector). Din egalitatea acestor triunghiuri, rezultă că B = ∠ ∠ S. QED.

Cu utilizarea Teorema 1 este setată următoarea teoremă.

Teorema 5. Al treilea semn al egalității de triunghiuri. Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi ale unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale (Fig. 2).

Notă. Propunerile prezentate în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile perpendicular pe segmentul. Dintre aceste propuneri, rezultă că la mijloc perpendiculare laturile unui triunghi se intersectează la un moment dat.

Exemplul 1. arată că planul echidistant față de capetele segmentului se află pe perpendicular pe acest segment.

Decizie. Să punctul M este echidistant față de capetele AB (Fig. 3) ale intervalului, t. E. AM = VM.

Apoi isoscel Δ AMB. Prin punctul M și centrul O al segmentului AB p. segment MO de construcție este un triunghi isoscel median AMB și deci (Teorema 3) și înălțimea t. E. MO Drept este perpendiculara pe segmentul AB.

Exemplul 2 Pentru a dovedi că fiecare punct al mediatoare este echidistant față de capetele sale.

Decizie. Fie p - perpendiculara pe segmentul AB și punctul D - mijlocul segmentului AB (a se vedea figura 3 ..).

Să considerăm un punct arbitrar M, care se află pe linia p. Desenați segmentele AM ​​și BM. Triunghiuri AOM si sunt PTO, deoarece acestea sunt incluse unghiuri drepte OM despre picior general și picior este un picior OA OB cu condiția. Din egalitatea de triunghiuri AOM și priză de forță rezultă că AM = BM.

Exemplul 3. Într-un triunghi ABC (.. Fig 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; în triunghiul DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Compara ABC și DEF triunghiuri. Găsiți unghiuri egale, respectiv.

Decizie. Aceste triunghiuri sunt egale, pe baza celui de al treilea. unghiuri egale în consecință A și E (minciună împotriva soarelui și laturile FD egale), B și F (minciună împotriva egale laturile AC și DE), C și D (egal să se întindă pe laturile AB și EF).

Exemplul 4. Figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.

Decizie. Luați în considerare ABC și ADC triunghi. Ele sunt de-a treia caracteristica (AB = DC, BC = AD de starea și partea de curent alternativ - în total). Din egalitatea acestor triunghiuri, rezultă că B = ∠ ∠ D, dar unghiul B este egal cu 100 °, în consecință, unghiul D este de 100 °.

Exemplul 5. Într-un triunghi echilateral ABC cu AC bază exterior unghiul la vârf C este egal cu 123 °. Găsiți valoarea unghiului ABC. Raspuns da grade.

ABC isoscel triunghi cu un AC de bază exterior unghiul la vârf C este egal cu 123 °. Găsiți valoarea unghiului ABC.