Keystone Matematica

Trapez - un patrulater care are exact o pereche de laturi opuse paralele. laturi paralele sunt numite baze de trapez. Celelalte două părți sunt numite flancurilor. Segmentul care conectează mijlocul laturilor, se numește linia de mijloc a trapez. Distanța între bazele numite înălțimea trapez. Trapez, care părțile sunt numite echilateral (sau isoscel) linie, unul dintre unghiurile care linia dreaptă este numit dreptunghiular. linii paralele care se intersectează laturile de colț, taie din părțile laterale ale segmentelor proporționale unghi. Proprietăți trapez:

• Intr-un trapez echilateral unghiuri baze egale.
• Într-un trapez echilateral diagonalele sunt egale.
• Linia mediană a trapezului are proprietatea - este paralelă cu bazele trapezului și este egală cu jumătate din suma acestora.
• În cazul în care trapez isoscel, cu privire la aceasta este posibil să se descrie un cerc.
• Dacă suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor, atunci este posibil să se înscrie într-un cerc.
• În mijlocul bazelor trapezoidal, punctul de intersecție a diagonalelor și părțile trebuie să continue pe aceeași linie.

Tipuri de trapeze. Liniile paralel cu baza:

• linia de centru
• Linia care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor
• Linia care desparte zona trapezului în părți egale

Trapez înscris într-un cerc.

Trapeze circumscris circumferința.

Exemplul 1. O bază mai mică a unui trapez isoscel este 6. 10. Înălțimea trapezului este egală cu tangenta un unghi ascuțit mai mari de bază 2. Găsiți. Decizie. BC = 6, BH = 10, = tga 2. Se efectuează construcții în continuare: trage o a doua înălțime CM. Luați în considerare baza trapez AD. Lungimea sa este suma lungimilor segmentelor: AD = AH + HM + MD. Rețineți că, din moment ce un trapez isoscel, The AVN = CMD (de-a lungul ipotenuzei și unghiul) AH = MD. în afară de soare = HM. Ne întoarcem la utilizarea datelor problemei: AD = 2x + 6. în cazul în care x - lungimea segmentului AH. Deoarece tga = 2. apoi (unghi triunghi tangent acut în unghi este raportul dintre piciorul opus unui picior adiacent). De aceea, x = 10/2 = 5. În final, obținem AD = 2x + 6 = 16. Răspuns: 16. Exemplul 2. în hârtie milimetrică cu trapez prezintă celule de dimensiune. Găsiți zona în centimetri pătrați. Decizie. Referindu-ne la Fig. Trebuie remarcat faptul că aria selectată a figurii poate fi exprimată ca suma pătratului zonei (situată pe partea stângă) și triunghi dreptunghic (localizat în partea dreaptă). O suprafață pătrată S = a 2. în cazul în care o - lungime laterală a unui pătrat. Zona unui triunghi dreptunghic, în cazul în care a și b - picioarele unui triunghi dreptunghic. Ne întoarcem la partea de calculator a soluției. . . Pornind de la figura a = 5 cm și a = 4 cm De aici, vezi A. 35. Exemplul 3. Într-o bază de trapez isoscel 21 și 9 cm, înălțime - 8 centimetri .. Găsiți raza cercului. Decizie. Desenați perpendiculara pe baza Codului fiscal. atunci centrul cercului O se află pe linia NC. AO = OB = R. punctul O împarte segmentul în două părți NC: Fie x = NO. apoi OK = 8 - x. AO 2 = AC 2 + CO 2; OB = 2 BH 2 + HO 2. Deoarece 2 OA = OB 2. obține AK 2 + CO 2 = HV 2 + HO 2 A: R = 10.625. Exemplul 4. Găsiți aria unui trapez isoscel descris un cerc cu raza de 4, dacă se știe că partea trapezului este egală cu 10. Soluție.

Dată: ABCD - trapez isoscel, r = 4, AB = 10 Cauta: SABCD

1. AB = CD = 10 cu condiția.
2. AB + CD = AD + proprietate BC al cercului inscris.
3. AD + BC = 10 + 10 = 20.
4. FE = 2r = 2 * 4 = 8.
5. SABCD = 1/2 (BC + AD) · FE, SABCD = 1/2 · 20 · 8 = 20/2 = 10 · 8 · 8 = 80.

Răspuns: SABCD = 80. Exemplul 5 Baza trapez sunt de 10 m și 31 m, iar laturile - 20 m și 13 m înălțime Localizați trapezoid .. Decizie. Să HK = BC = 10 m, BH = CK = x. AH = y. apoi KD = 21 - y Prin teorema lui Pitagora: x 2 + y 2 = 132 x 2 + (21 - y) 2 = 20 2 x 2 + y 2 = 169 (1) x 2 + 441 - 42y + y 2 = 400 (2) se scade din (2) ecuația (1): 441 - 42y = 231 42y = 210 y = 5 AH = 5m Prin teorema lui Pitagora: BH 2 = AB 2 - AH 2 BH 2 = 132-52 BH 2 = 169 - 2 25 BH = 144 BH = 12 a: BH = 12. Exemplul 6 O bază mai mare a trapezului este lungimea bazei 24. căutare mai mică, în cazul în care distanța dintre centrele diagonalelor este 4. Soluție. Răspuns: 16. Exemplul 7. Diagonalele AC și BD ABCD trapez se intersecteze punctul O. Găsiți zona trapezului, în cazul în care BC Luați în considerare similitudinea triunghiuri. Pătratele părților în cauză sunt tratate ca zone de triunghiuri. Introduceți parametrii triunghiuri partea de bază și înălțimea triunghiuri. Zona de trapez și triunghiul este definit prin formulele bine cunoscute. Decizie. Răspuns: 18. Exemplul 8. trapez baza mare a trapezului este egală cu 10. diagonalele egale cu 8, perpendicular pe laturile. Găsiți aria unui trapez. Analiză.

Lungimea diagonalelor sunt egale și perpendiculare pe laturile. Au triunghiuri egale în unghi dreapta pe cateta și ipotenuza: ABD = ACD, totuși trapez isoscel, adică AB = CD. Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a determina părțile laterale ale trapez. Înălțimea trapezului definesc zonele de egalitate. Proiecția pe partea laterală a bazei mai ușor pentru a determina similitudinea triunghiuri decât teorema lui Pitagora. Lungimea liniei mediane într-un trapez echilateral poate fi determinată ca diferența dintre baza mai mare a proiecției și latura bazei. Zona de trapez găsi aria unui dreptunghi ca AMSK care obține dacă se completează un trapez.

Decizie. A: 30.72. Exemplul 9. diagonalele perpendiculare reciproc ale trapezului și lungimea sa este egală cu axa 9. Găsiți lungimea segmentului care leagă mijlocul bazelor trapez. Analiză.

Problema este rezolvată de construcție. Vom finaliza cutii și de a folosi proprietatea dreptunghi: diagonalele dreptunghiului sunt egale și la intersecția împărțit la doi. Lungimea midline egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor. Lungimea segmentului care unește punctele de centru de baze, este egală cu jumătate din lungimea diagonalelor două triunghiuri construite.

Decizie. Răspuns: 9. Exemplul 10. Lungimile bazelor trapez sunt 1 și 7. Găsiți lungimea segmentului, paralel cu solul și închis între fețele laterale, care împarte trapezul în două părți egale. Analiză.

Perform din vârful de obtuz unghiul trapezului linie dreaptă paralelă cu latura. Luați în considerare atitudinea zonei trapezoidală. Se determină raportul dintre similaritatea triunghiuri. transformări algebrice raționale duc la rezultatul.

Decizie. A: 5. Exemplul 11. trapez isoscel ABCD este circumscris circumferința. Partea a trapezului este egal cu 10, iar baza sunt 1: 4. Găsiți aria unui trapez. Analiză.

Suma laturile opuse ale unui trapez este egală între ele - imobilul descris patrulater. trapez isoscel. Partea egală cu lungimea centrală. Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a găsi înălțimea trapezului. Zona de trapez este determinată din formula disponibilă.

Decizie. Răspuns: 80. Exemplul 12. Lungimile laturile trapezului sunt 6 și 10. Este cunoscut faptul că în trapezului poate fi înscrisă cerc și linia de mijloc se împarte în părți, zone care includ atât 5: 11. Găsiți lungimea bazei mari a trapezului. Analiză.

Trapeze este descrisă. Suma lungimilor bazelor este suma laturilor. Linia de mijloc împarte trapezul în două trapez a cărui înălțime este egală. Problema se reduce la un sistem de ecuații. Lungimea liniei mediane este egală cu jumătate din suma lungimilor laturilor.

Decizie. Răspuns: 14. Exemplul 13. Aria unui trapez isoscel, un cerc este descris în jurul liniei de mijloc 15. Găsiți trapezului dacă cosinus unghi ascuțit la bază este egal cu 4/5. Analiză.

trapez isoscel. Lungimea liniei mediane este laterală. Zona de trapez este determinată de produsul a liniei de mijloc la înălțimea trapezului. Omite înălțimea trapezului a unghiului obtuz. După o cosinus predeterminată a unghiului este definit sinusul unghiului. Potrivit sinusul unghiului exprimă înălțimea trapezului prin lateral.

Decizie. A: 5. Exemplul 14. Într-un trapez dreptunghiular, cercului, partea laterală majoră este de 13, iar linia de mijloc este de 12,5. Găsiți baza mai mică a trapezului. Analiză.

Este necesar să se utilizeze laturile de proprietate ale dreptunghiului circumscris în jurul cercului: suma lungimilor laturi opuse sunt egale între ele. În plus, lungimea liniei mediane este egală cu jumătate din suma lungimilor laturi ale bazelor. Atragem din partea de sus a unghiului obtuz al înălțimii trapezului. Noi folosim teorema lui Pitagora și definesc proiecția laturii înclinate a bazei.

Decizie. Răspuns: 10. Exemplul 15 Intr-un trapez isoscel, dintre care un unghi este de 60 °, iar zona este egal cu cercul inscris. Găsiți raza acestui cerc. Analiză.

Cel mai important poziția pe care trapez este isoscel și are o axă de simetrie. Apoi, lungimea laterală este egală cu linia mediană. Prezentați partea opțiunea unui triunghi dreptunghic în colțul predeterminat defini înălțimea trapezului, care este diametrul cercului înscris. Suprafața unui trapez este definit ca produsul a liniei de mijloc la înălțimea trapezului.

Decizie. Răspuns: 3. Exemplul ABCD 16 trapez este înscrisă într-un cerc. Localizați midline trapez în cazul său mai mare bază AD este egală cu 15, sinusul unghiului BAC este egal cu 1/3, ABD sinusoidală un unghi egal cu 5/9. Analiză.

Trapez poate fi înscris într-un cerc, în cazul în care este isoscel. Lungimea fiecărui acord este determinată din teorema sine.

Decizie. Răspuns: 12. Exemplul 17. Găsiți aria unui trapez isoscel a cărui bază mare este egal cu 13, linia de mijloc este egal cu 8, iar bisectoarea unghiului obtuz este diagonală a trapezului. Analiză.

La efectuarea bisectoarea unghiului obtuz este mai mare parte laterală a trapezului de bază. Proiecția laterală a unui trapez isoscel este egală cu jumătate din diferența dintre lungimile bazelor. Prin teorema lui Pitagora vom găsi înălțimea trapezului. Zona trapezului de formula.

Decizie. Răspuns: 96. Exemplul 18. Laturile AB și CD trapezoid ABCD sunt de 15 și respectiv 12. Localizați-grade valoarea unghiului D, în cazul în care una din trapezului de bază 9 mai mare decât celălalt. Analiză.

Din vertex desena o linie dreaptă paralelă cu latura. Acest trapez este împărțit printr-o linie dreaptă, pe un paralelogram și un triunghi. laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, aceasta înseamnă că lungimea laterală a triunghiului este egală cu diferența dintre lungimile bazelor unui trapez. Acest triunghi este definit de trei laturi. Conform teorema cosinusului definesc unghiul dorit. Calculele arată că partea laterală perpendicular pe baza, unghiul dorit al liniei.

Decizie. Răspuns: 90. poligoanelor Un poligon convex este numit regulat. dacă el are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Centrul unui poligon regulat, este un punct echidistant față de toate nodurile sale și toate părțile. Unghiul central al unui poligon regulat, este unghiul la care partea vizibilă a centrului său. Combinând linie poligonală închisă și zona sa interioară se numește un poligon. Însãsi linie frântă numit limita poligon. și interior - interiorul zonei poligon. Link-uri ale limitelor poligonale sunt numite laturi ale poligonului. și vârfurile - vârfurile poligonului. Segment conectează două vârfuri neadiacente ale poligonului se numesc diagonală. Un poligon este numit convex. în cazul în care este pe de o parte a fiecărei linii îl conține. Relațiile în poligoane:

• Toate poligoane regulate sunt similare între ele;
• suma tuturor unghiurilor unui poligon convex este de 180 ° (n-2);
• suma unghiurilor exterioare fiecare poligon convex, luate câte una la fiecare nod, egal cu 360 °;
• perimetrele poligoanelor similare sunt congruente mâna lor, iar acest raport este egal cu coeficientul de similitudine;
• zone poligoanelor similare sunt pătratele laturile lor congruente, iar acest raport este egal cu pătratul factorului de similaritate.

poligoane inscriptionare circumscrise înscrise într-un cerc al unui poligon este numit un poligon al cărui noduri se află pe cerc. Poligon circumscris despre un cerc numit un poligon, ale cărui laturi sunt tangente la cercul. Poligon circumscris despre un cerc numit cercul care trece prin nodurile. cerc Înscrisă în poligon se numește tangentă la cerc laturile sale.