Indefinit integrală 1

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Începem studiul temei „nedefinită integrală“. și să analizeze în detaliu cele mai simple exemple de soluții (nu prea) integralele. Ca de obicei, ne vom limita la un minim de teorie, care este în multe manuale, sarcina noastră - pentru a afla cum să rezolve integralele.

Ce trebuie să știți să stăpânească cu succes materialul? Pentru a face față cu calculul integral, ar trebui să fie în măsură să găsească derivați, cel puțin la nivelul mediu. Nu sunt de prisos va experimenta dacă ai în spatele câteva zeci, dar mai bine - o sută și-au găsit derivații. Cel puțin nu trebuie să pună într-un loc de muncă final mort pe diferențierea dintre cele mai simple și cele mai comune funcții.

S-ar părea, și aici toate instrumentele derivate, dacă este menționat în articolul merge pe integralele. Și aici e chestia. Faptul este că găsirea unor instrumente derivate și găsirea integralele nedefinite (diferențiere și integrare) - două acțiuni reciproc inverse. cum ar fi adunarea / scăderea și înmulțirea / divizare. Astfel, fără priceperea și experiența de a găsi fără derivate, din păcate, nu merge mai departe înainte.

În acest sens, avem nevoie de următoarele materiale metodologice: derivate Table și integralele.

Care este complexitatea de a studia integralelor nedefinite? Dacă instrumentele derivate sunt reguli stricte de diferențiere 5, tabelul de derivați și secvența destul de clară a acțiunilor, integralele orice altceva. Există zeci de metode și tehnici de integrare. Și, în cazul în care procesul de integrare a fost inițial ales incorect (de exemplu, nu știi cum să se ocupe), atunci integrala se poate „taie“ literalmente zi și noapte, ca un puzzle reale, încercând să observe diferitele tehnici și trucuri. Unii chiar place.

Apropo, de multe ori am auzit de la studenți (nu specialități umanitare), opinii, cum ar fi: „Nu am avut nici un interes pentru a rezolva o limită sau un derivat, dar integralelor - este o altă problemă, este distractiv, există întotdeauna o dorință de a“ hack „o parte integrantă complex“ . Stop. umor negru Destul, du-te la acest integralele foarte nedefinite.

Astfel, vom începe cu un simplu. Uită-te la masa integralelor. Precum și în instrumente derivate, observăm câteva reguli de integrare și un tabel de integralelor unor functii elementare. Orice integral tabular (și în general orice integrală nedefinită) este de forma:

Odată ce înțelegem notația și termenii:

- integrandul (scris cu un „e“ literă).

- Pictograma diferențială. Ce este, ne vom uita la foarte curând. Principalul lucru este că înregistrarea integralei și în soluțiile, este important să nu piardă această pictogramă. defect este Vizibile.

- integrandul sau „umplere“ a integralei.

- set de primitive de funcții. Nu este nevoie să supraîncărcați termenii sunt cel mai important lucru în orice constantă integrantă nedeterminată, se adaugă la răspunsul.

Rezolva o integrală nedefinită - adică primitivelor naytimnozhestvo a funcțiilor unui anumit integrandul, folosind unele reguli, trucuri și de masă.

Încă o dată, uita-te la înregistrare:

Să ne uităm la o masă integralelor.

Ce se întâmplă? în partea stângă noi sunt convertite în alte funcții.

Să ne simplifica definiția noastră:

Rezolva o integrală nedefinită - înseamnă să-l transforme într-o nedefinită (până la o constantă) funcție, folosind unele reguli, trucuri și de masă.

Să luăm, de exemplu, o parte integrantă tabelare. Ce sa întâmplat? notație simbolică a evoluat într-un set de primitive de funcții.

Ca și în cazul instrumentelor financiare derivate, în scopul de a învăța cum să găsească integralele nu trebuie să fie conștienți de ceea ce este funcția integrală sau primitiv din punct de vedere teoretic. Pur și simplu să efectueze conversia unor reguli formale. Deci, în cazul în care nu este necesar să înțelegem de ce devine parte integrantă. Puteți lua acest lucru și alte formule de la sine. Toate consumul de energie electrică, dar puțini oameni cred că, așa cum există pe sârmă, electronii alerga.

Deoarece diferențierea și integrarea - operațiunea opusă, că pentru orice primitiv care naydenapravilno, următoarele:

Cu alte cuvinte, dacă vom diferenția răspunsul corect, trebuie să obțineți integrandul originală.

Să ne întoarcem la aceeași masă integrală.

Verificați validitatea formulei. Noi luăm derivata partea dreaptă:

- este integrandul originală.

Aici, de altfel, a devenit clar de ce funcția este întotdeauna atribuită constantă. Când diferențiind constant devine întotdeauna zero.

Rezolva o integrală nedefinită - acest lucru înseamnă a găsi primitivele mnozhestvovseh, și nu orice caracteristică. În acest exemplu, un tabel. . . Și așa mai departe -.. Toate aceste caracteristici sunt soluția integralei. Un număr infinit de soluții, astfel încât a scrie în jos pe scurt:

Astfel, orice integrală nedefinită este destul de ușor de verificat. Acest lucru este unele compensații pentru numărul mare de diferite tipuri de integralelor.

Vom continua să ia în considerare exemple specifice. Vom începe, la fel ca în studiul derivatului, cu integrarea celor două reguli:

- constanta C poate (și ar trebui) să fie luate în afara semnului integral.

- integrala a sumei (diferenței) a două funcții este suma (diferența) dintre cele două integralelor. Această regulă este valabil pentru orice număr de termeni.

După cum puteți vedea, regulile, în principiu, la fel ca și pentru derivații. Uneori mentionat ca proprietatile linearitate integrale.

Găsiți nedefinită integrala.

Soluție: Este mai convenabil să-l convertească ca.

(1) Aplicarea regulii. Pe uita să scrie în jos pictograma diferențială dx sub fiecare integrală. De ce sub fiecare? dx- este un factor de multiplicare complet. În cazul în care detaliile de vopsea, primul pas ar trebui să fie scris după cum urmează:

(2) Conform regulii face ca toate constantele semnelor integrale. Vă rugăm să rețineți că, în ultimul termen tg 5 - este o constantă, aceasta va fi afișată.

De asemenea, la această etapă, ne pregătim rădăcinile și gradul de integrare. În același mod ca și în diferențierea, rădăcinile trebuie să fie prezentate sub forma. Rădăcini și gradul, care sunt situate la numitor - să se deplaseze în sus.

Notă: în contrast cu derivatei, integralei rădăcini nu ar trebui să conducă întotdeauna la forma și gradul de transport-up.

De exemplu - este gata tabular integrală, care este deja numărate până la tine, și toate vrodesovershenno viclean chinez nu este necesar. În mod similar: - este, de asemenea, o masă integrală, nu există nici un punct reprezintă fracțiunea în formă. Studiati cu atentie masa!

(3) Toate tabelul integralele noi. Realizăm conversia cu ajutorul tabelului, folosind formula :. și

pentru funcția de putere -.

Trebuie remarcat faptul că intabulat integrantă - acesta este un caz special de formula pentru funcții exponențiale.

Constanta C este suficient pentru a adăuga la o dată la sfârșitul expresiei

(Și nu le-a pus după fiecare integralei).

(4) Scrieți rezultatul într-o formă mai compactă când toate gradele de specii

din nou, prezent sub formă de rădăcini, iar gradul cu reset negativ înapoi la numitor.

Verificați. Pentru a valida răspunsul rezultat pentru a diferenția:

Ia integrandul sursa. t. e. integralei găsit în mod corect. De atunci au dansat și înapoi. Ei bine, atunci când povestea se termină cu integralei exact.

Din când în când a găsit o abordare ușor diferită a verificării nedefinită integral, luată atunci când nici un derivat al răspunsului, și diferențial:

Ca urmare nu suntem integrandul, și integrandul.

Nu vă fie teamă de diferențial concept.

Differential - acest derivat înmulțită cu dx.

Cu toate acestea, noi nu sunt importante subtilități teoretice, și că această diferență să facă în continuare. Differential dezvăluite după cum urmează: d elimina pictograma din dreapta barei de bretele stabilit la sfârșitul expresiei atributului factor dx:

Ia integrandul sursa. adică integralei găsit în mod corect.

După cum puteți vedea, diferențialul este redusă la găsirea derivatului. Al doilea mod de a verifica cel puțin favoritul meu, așa cum trebuie să atragă în plus, între paranteze mari și trageți differentsialadx până când pictograma de scanare. Deși este mai corect, sau „solide“ sau ceva.

De fapt, a fost posibil să fie tăcut despre al doilea modul de testare. Nu e în drum, și că am învățat să deschidă diferențial. Din nou.

Differential dezvăluite după cum urmează:

1) d elimina pictograma;

2) dreptul setului de bare bretele (denumirea derivatului);

3) la sfârșitul expresiei atributului multiplicator dx.

Amintiți-vă acest lucru. Considerat de recepție avem nevoie de foarte curând.

Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.

Acesta este un exemplu pentru propriile lor soluții. Răspunsul și soluție completă la sfârșitul lecției.

Când vom găsi nedefinită integral, atunci întotdeauna încercăm să facem o verificare de fond. Mai mult decât atât, pentru că aceasta este o mare oportunitate. Nu toate tipurile de probleme în matematici superioare sunt prezente în acest punct de vedere. Nu contează că este de multe ori în verificarea sarcinilor de control nu este necesară, ea nimeni și nimic nu împiedică să-și petreacă pe proiect. O excepție se poate face numai atunci când nu există nici un timp (de exemplu, concurența, examen). Personal, am verifica întotdeauna integralele, și lipsa de controale și hack cred prost a misiunii.

Găsiți integrala nedefinită:

Soluție: Analizând integral, vom vedea că avem produsul integrală a două funcții, și chiar și ridicarea întregii expresie. Din păcate, în domeniul de luptă integrat nu este bun și convenabil pentru integrarea produsului cu formula și privat sau.

Prin urmare, atunci când se administrează produsul sau coeficientul, întotdeauna are sens să se uite la, și dacă să transforme integrandul în sumă nu poate fi? Exemplul - cazul în care este posibil.

(1) Utilizați bun vechi sumă formulă pătrat pentru orice numere reale. a scăpa de amploarea colțarul totală.

(2) introdusă în consola de dispunere a produsului.

(3) să utilizeze proprietățile liniarității integrale (ambele reguli imediat).

(4) Transformarea integralelor cu formula tabulară.

(5) este răspunsul simplificat. Aici ar trebui să acorde o atenție la fracții improprii comune - este ireductibil, iar în răspunsul este în această formă.

Nu aveți nevoie pentru a partaja un calculator!

Nu este nevoie să-l prezinte în formă!

Ia integrandul sursa. și, prin urmare, integrala găsit în mod corect.

Funcția de audit este întotdeauna de dorit să „pachet“ la forma sa inițială, introducerea, în acest caz, parantezele și aplicarea formulei de multiplicare Acronimul în direcția opusă.

Găsiți nedefinită integralei

Acesta este un exemplu pentru propriile lor soluții. Răspunsul și soluție completă la sfârșitul lecției.

Găsiți nedefinită integralei

In acest exemplu, funcția integrandul este o fracție. Când vedem o fracție în integrandul, primul gând ar trebui să fie întrebarea: „Este posibil pentru a obține într-un fel scăpa de fracțiunea, sau cel puțin a facilita?“.

Observăm că numitorul este rădăcina singuratic de „X“. Unul din domeniu - nu este un razboinic, astfel încât să puteți termwise diviza numărătorul de numitor:

Dacă încă baffled de un astfel de exemplu ca

și, în orice nu a primit răspunsul corect,

De asemenea, rețineți că decizia este lipsește un pas, și anume aplicarea normelor. . De obicei, atunci când o anumită experiență de rezolvare a integralelor acestor reguli este considerată un fapt evident, și nu pictat în detaliu.

Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.

Acesta este un exemplu pentru propriile lor soluții. Răspunsul și soluție completă la sfârșitul lecției.

În general, cu fracții din integralele nu este atât de ușor să se integreze fracțiuni materiale suplimentare ale unor specii pot fi găsite în articolul: Integrarea unor fracțiuni. Dar, înainte de a trece la articolul de mai sus, trebuie să vă familiarizați cu lecția: Metoda de înlocuire în nedefinită integrală. Faptul că funcția însumare pentru metoda diferențială, sau o modificare a variabilei este cheia pentru a studia acest subiect, deoarece acesta se produce nu numai „locuri de muncă curate pe metoda de înlocuire“, dar, de asemenea, în multe alte specii de integralelor.

Exemplul 2: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

În acest exemplu, am folosit formula de multiplicare prescurtate

Exemplul 6: Soluție: