Factoring 1

Ce este factoringul? Această metodă de conversie a unui exemplu incomod și complicat, într-un simplu și drăguț.) Och-h-riu tehnica puternica! Aceasta are loc la fiecare pas și în matematică elementare, și în cea mai mare.

Astfel de transformări în limbaj numit transformări identitare matematice de expresii. Care nu au nici o idee - să ia o plimbare prin link-ul. Există destul de puține, simplu și util) Sensul oricărei transformări de identitate -. O înregistrare într-o altă formă de exprimare, menținând în același timp esența ei.

Sensul de factoring este foarte simplă și directă. Chiar de la titlu. Puteți uita (sau nu știu) că este un factor, dar că cuvântul este derivat din cuvântul „creștere“ cifră este posibil) să factor mijloace: pentru a reprezenta expresia ca o multiplicare a ceva la ceva. Iartă-mă matematică și limba română. ) Asta e tot.

De exemplu, este necesar să se extindă numărul 12. Este sigur să scrie:

Aici am prezentat numărul 12 ca o multiplicare de 3 la 4. Vă rugăm să rețineți că tsiferki dreapta (3 și 4) foarte diferit de cel din stânga (1 și 2). Dar suntem conștienți de faptul că 12 și 3 · 4 la fel. 12 sunt numerele de transformare nu este schimbat.

Un 12 poate fi extins într-un alt mod? Simplu!

opțiuni de extindere - o sumă infinită.

Numerele de descompunere factoring - un lucru util. Foarte util, de exemplu, cu acțiuni de rădăcini. Dar factoring expresii algebrice lucru nu este atât de util, este - un necesar! Purely ca exemplu:

Cine nu știe cum să se stabilească expresia factorilor, odihnindu-se pe margine. Cine știe - Simplifică și devine:

Efectul este uimitor, nu?) Apropo, soluția este destul de simplu. Mai jos vedeți pentru tine. Sau, de exemplu, o astfel de sarcină:

Rezolvat în minte, printre altele. Cu factorizations. Mai jos, vom rezolva acest exemplu. Răspuns: x1 = 0; x2 = 1.

Sau, același lucru, dar pentru cel mai in varsta)

In aceste exemple, am arătat scopul principal al factoringului: simplificarea expresiilor fracționare și rezolvarea anumitor tipuri de ecuații. Vă recomandăm să amintesc regula de degetul mare:

Dacă ne confruntăm cu o expresie fracționată teribilă, puteți încerca să factor numărătorul și numitorul. Foarte adesea, o fracție este redusă și simplificată.

Dacă avem ecuația în cazul în care dreptul - zero, iar stânga - nu înțeleg că, puteți încerca să se extindă în partea stângă a factorizarea. Uneori ajută).

Principalele metode de factoring.

Aici ele sunt, cele mai populare moduri:

1. Introducerea unui factor comun din paranteze.

4. Extinderea trinomul pătrat.

Aceste metode trebuie să-și amintească. În această ordine. Exemplele complexe sunt testate pentru toate modurile posibile de descompunere. Și este mai bine pentru a verifica pe poryadochku pentru a evita confuzia. Aici, pe poryadochku și să înceapă.)

1. Introducerea unui factor comun din paranteze.

Un mod simplu și fiabil. De la el nu este rău! Este bine sau nimic.) De aceea, el este primul. Cercetat.

Știm cu toții (eu!)) Regula:

Sau, în termeni mai generali:

Toate lucrările de egalitate ca stânga la dreapta, și invers, de la dreapta la stânga. Putem scrie:

Asta e tot punctul de îndepărtare a unui factor comun din paranteze.

Pe partea stângă și - un factor comun pentru toți termenii. Înmulțit cu tot, adică). La dreapta este același ca este deja din ecuație.

Aplicarea practică a metodei, luați în considerare următoarele exemple. Prima versiune a simplu, chiar primitiv.) Dar versiunea I nota (verde) este puncte foarte importante pentru orice factorizarea.

Pentru Factor:

Care este factorul comun este așezat în cei doi termeni? Desigur, X! Și va fi scos din paranteze. Facem acest lucru. Imediat X pentru a scrie paranteze:

Și în paranteze scrie rezultatul împărțirea fiecărui termen pentru aceasta este X. Potrivit poryadochku:

Asta e tot. Desigur, în astfel de detaliu nu trebuie vopsea, Acest lucru se face în minte. Dar, pentru a înțelege că ceea ce este de dorit). Reparăm în memorie:

Scrierea unui factor comun din ecuație. În paranteză scrie rezultatele diviziunii tuturor termenilor pe factorul cel mai comun. Potrivit poryadochku.

Aici vom extinde expresia ax + 9x factoring. A fost convertit la xXx sale înmulțirii (a + 9). Am observat că în expresia inițială a fost, de asemenea, multiplicarea, chiar și două: o · x și 9 x x. Dar nu a fost luat! Pentru că, în plus față de înmulțire și adăugarea a fost mai mult, semnul „+“ în această expresie! Iar în ceea ce privește x (a + 9), în plus față de multiplicare nimic!

Cât de adevărat. - Am auzit vocea indignată poporului - și între paranteze)!?

Da, in interiorul parantezelor au plus. Dar ideea este că, atâta timp cât parantezele nu sunt dezvăluite, le vom vedea ca o singură literă. Și toate acțiunile cu paranteze fac în întregime ca o singură literă. În acest sens, în ceea ce privește x (a + 9), în plus față de multiplicare nimic. Aceasta este esența de factoring.

Apropo, este posibil să se asigure într-un fel că tot ceea ce am făcut ce trebuia? Cu ușurință! Este suficient înapoi înmulțiți prestate (X), în paranteze și să vedem - fie pentru a obține expresia originală? În cazul în care sa dovedit totul de top de tip!)

În acest exemplu simplificat, nu există probleme. Dar dacă câțiva termeni, astfel încât chiar și cu caractere diferite. Pe scurt, fiecare al treilea elev kosyachit). Prin urmare:

Dacă este necesar, verificați multiplicarea de factoring invers.

Ne îndreptăm în continuare și să complice sarcina:

Pentru Factor:

Cautam un factor comun. Ei bine, cu x este clar, acesta poate fi luat. Și dacă există încă un factor comun? Da! Un triplu. Puteți scrie, de asemenea, o expresie de genul:

Aici vom vedea imediat că factorul comun este 3. Asta e și să ia:

Și ce s-ar întâmpla dacă doar pentru a face x? Nimic special:

Acesta va fi, de asemenea, de factoring. Dar, în acest proces fascinant adoptat pentru a pune tot drumul până când este posibil. Aici, în paranteze au posibilitatea de a face primele trei. out:

. La fel, doar cu mai mult de o acțiune) să ne amintim:

Pentru a ajunge la un factor comun din paranteze, vom încerca să facem factorul comun maxim.

Pentru factorul expresia:

Ce vom face? Trei, X? Nu-ee. Nu poți. Nu uitați, puteți face doar un factor comun, care este în toate condițiile de exprimare. De aceea, el și general. Aici, un astfel de factor nu este prezent. Ceea ce nu se poate stabili. Ei bine, da, s-au bucurat, desigur. întâlni

2. Gruparea.

De fapt, grupul poate fi numit cu greu un mod independent de factoring. Este mai degrabă o modalitate de a ieși într-un exemplu dificil.) Este necesar să se grupeze termenii, astfel încât totul sa dovedit. Acesta este doar un exemplu pentru a arăta că poți. Deci, avem o expresie:

Este evident că unele litere și numere comune sunt disponibile. Dar. factor comun care a fost în toți termenii - nr. Nu-ți pierde inima și rupe expresia în bucăți. Grupul în sus. Așa că fiecare piesă a fost un factor comun, care a fost să îndure. Cum se rupe? Oh, pune doar paranteze.

Permiteți-mi să vă reamintesc că parantezele pot fi plasate oriunde și în nici un fel. Dacă numai esența exemplelor nu sa schimbat. De exemplu, puteți:

Vă rugăm să acorde o atenție la a doua categorie! Ei se confruntă cu semnul minus, iar 8a și 24 au devenit pozitiv! În cazul în care, pentru verificarea înapoi pentru a deschide paranteze, semnele s-au schimbat, și obținem expresia originală. Ie sunt expresii ale consolelor nu sunt modificate.

Dar dacă ai blocat doar o bretele, fără a lua în considerare semnul schimbării, de exemplu, ca aceasta:

ar fi o greșeală. Dreapta - este o altă expresie. Deschideți parantezele și totul va fi văzut. Apoi, nu se poate rezolva, da. )

Dar să revenim la factorizarea. Ne uităm la prima consola (3aH + 9x) și cred că, ce putem face? Ei bine, exemplul de mai sus, am decis, putem lua un 3:

Învățarea din a doua categorie, în cazul în care puteți face opt:

Toată exprimarea noastră de voință:

Am luat? Nu. Ca urmare a extinderii ar trebui să aibă doar multiplicare, și avem minus toate prăzi. Dar. Ambii termeni au un factor comun! Aceasta (a + 3). Eu nu spun nimic, că parantezele în întregime - este, cu toate acestea, o singură literă. Deci, aceste paranteze pot fi scoase din paranteze. Da, tocmai pentru că sună.)

Noi facem, așa cum a fost descris mai sus. Scrierea unui factor comun (a + 3). în al doilea rând paranteze rezultate diviziune record în ceea ce privește (a + 3):

Totul! Chiar în afară de înmulțirea nimic! Deci, factoring a finalizat cu succes) Aici este:

Pentru a reitera pe scurt la esența grupării.

În cazul în care termenii nu au un factor comun pentru toți termenii, împărțim parantezele de expresie, astfel încât în ​​interiorul paranteze a fost factorul comun. Trimiteți-l și vezi ce se întâmplă. Dacă ești norocos, și a rămas în paranteze exact aceleași expresii, vom scoate suporturile pentru aparat dentar.

Ar trebui să adaug că grupul - un proces creativ). Ea nu funcționează întotdeauna prima dată. E în regulă. Uneori este necesar să se schimbe termenii de locuri pentru a lua în considerare diferite opțiuni pentru grupuri până când veți găsi un bun. Principalul lucru pe aici - nu pierde inima)!

Acum, cunoștințe îmbogățit poate fi dificil și exemple poreshat.) Am fost la începutul lecției de triplu.

În esență, acest exemplu am decis deja. . Fără să-și dea seama) Memento: dacă ni se dă o lovitură teribilă, să încerce să se extindă numărătorul și numitorul de factori. Alte opțiuni pur și simplu nu simplifica.

Ei bine, numitorul nu este extins, iar numărătorul. Numărătorul am pus deja în cursul lecției! Iată cum:

Scriem rezultatul expansiunii în numărătorul:

Conform regulii de reducere a fracțiunilor (fracțiuni de bază proprietăți), putem împărți (simultan!) Numărătorul și numitorul cu același număr sau expresie. Fracțiunea nu se schimbă. Deci împărțim numărătorul și numitorul în ecuația (3, 8). Și aici și acolo ne edinichki. Rezultatul final al simplificării:

Vreau să subliniez: reducerea fracției este posibilă dacă și numai dacă numărătorul și numitorul cu excepția expresiilor de multiplicare nimic. Aceasta se datorează faptului că conversia sumei (diferență) în multiplicarea este atât de important pentru motive de simplitate. Desigur, în cazul în care expresiile sunt diferite, si nu micsora nimic. Byvet. Dar de factoring dă o șansă. Această șansă fără descompunere - nu este acolo.

ecuația EXEMPLU:

Ne scoate factorul comun x 4 din paranteze. obținem:

Pentru a crede că un produs de factori este egal cu zero, dacă și numai dacă oricare dintre ele este zero. Dacă aveți dubii, adu-mi o pereche de numere non-zero, care atunci când este multiplicată da zero) Aici și să scrie, mai întâi primul factor .:

Cu această ecuație, al doilea factor nu ne pasă. Oricine poate fi, este la zero în cele din urmă locul de muncă. Și cât de mulți în a patra voință la zero grade? zero, numai! Și nu mai mult. Prin urmare:

Cu primul multiplicator înțeles, o rădăcină găsită. Avem de a face cu al doilea factor. Acum, nu ne interesează este deja primul factor) .:

Aici și am găsit o soluție: x1 = 0; x2 = 1. Oricare dintre aceste rădăcini vine în ecuația noastră.

notă foarte important. Vă rugăm să rețineți, am rezolvat ecuația de biți! Fiecare factor este setat la zero, fără a acorda atenție celorlalți factori. Apropo, dacă într-o ecuație similară nu ar fi doi factori, așa cum avem, dar trei, cinci, orice număr - va fi exact la fel. Puțin câte puțin. De exemplu:

Oricine dezvăluie parantezele prin înmulțirea tot binele va atârna în această ecuație) student la propriu vede imediat că înmulțirea stânga, cu excepția nimic, dreapta -. Zero. Și începe (în minte!) Egal cu zero pentru toate poryadochku paranteze. Și primi (10 secunde!) Soluție adevărată: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.

Grozav, nu?) Această soluție elegantă este posibilă în cazul în care partea stângă a ecuației luat. Indiciu este clar?)

Deci, ultimul exemplu, pentru cel mai mare)

Ceva este similar cu cel anterior, nu-i așa?) Desigur. Este timpul să ne amintim că, în a șaptea algebra clasa sub litere pot fi spectatori și sinusurile, și logaritmi, și tot ce vrei! Factoringul funcționează în toate matematică.

Ne scoate factorul comun lg 4 x în afara paranteze. obținem:

Apoi totul, la fel ca în exemplul anterior:

Aceasta este aceeași rădăcină. Avem de a face cu al doilea factor.

Acesta este răspunsul final: x1 = 1; x2 = 10.

Sper că îți dai seama puterea deplină a factoring în simplificarea fracțiilor și rezolvarea ecuațiilor.)

În această lecție, ne-am întâlnit cu impunerea unui factor și grupare comună. Rămâne să se ocupe cu formulele de multiplicare și prescurtate trinom pătrat.

Anterioare: numerice și algebrice expresii. Conversia expresii.

Pagina următoare: Formule de multiplicare prescurtate.

Dacă vă place acest site.

Apropo, încă mai am câteva locuri interesante pentru tine.)

Aici se pot practica în rezolvarea exemple și să învețe nivelul. Testarea cu verificarea instantanee. Learning - cu interes)!

Și aici puteți face cunoștință cu funcțiile și derivații.