Elaborarea unui sistem de ecuații 1

§ 125. Conceptul de proporții.

Proporția numit egalitatea a două rapoarte. Iată câteva exemple de ecuații, numit proporțiile:

Notă. Numele de variabile care nu sunt specificate în proporțiile.

Numerele incluse în proporție, se face referire la proporția de membri. Deci, proporția este format din patru membri. Primul și ultimul termeni, adică. E. Termenii de pe margini, numite extreme. și membrii proporțiilor care sunt în mijloc, numit termenul de mijloc. Prin urmare, în primul raport de aspect al 2 și 5 sunt membri finali, precum și numerele 1 și 10 - membri de mijloc proporții.

§ 126. Proprietatea principală a proporției.

Înmulțiți separat termenii săi extreme și mijlocii. Produsul de extremă 6 • 4 = 24, produsul mediilor 3 • 8 = 24.

Luați în considerare diferite proporții: 10 5 = 12. 6. Noi înmulțiți și singur aici termenii extreme și mijlocii.

Artwork extreme 10 • 6 = 60, produs de medie 5 • 12 = 60.

Principala Proporția de proprietate: produsul membrilor extreme de proporția este produsul din media membrilor săi.

În general, proporțiile proprietății de bază este scris ca: ad = bc.

Verificați-l pe mai multe proporții:

Proporția de acest lucru este adevărat, așa cum sunt relațiile din care este compus. În același timp, luând produsul de proporția membrilor extreme (12 • 10) și produsul din media membrilor săi (4 • 30), vom vedea că ele sunt egale între ele, și anume. E.

Proporția este corectă, ceea ce este ușor de văzut, simplificând prima și a doua relații. Principala Proporția de proprietate va fi:

Este ușor de văzut că, dacă vom scrie această egalitate, pe care partea stângă este produsul unor două numere, iar în partea dreaptă a produsului de alte două numere, unul dintre aceste patru numere este posibil să se facă proporția.

Să presupunem că avem egalitate, care include patru numere în perechi multiplicate:

aceste patru numere pot fi membri ai proporție care este ușor să scrie, dacă luați primul produs al lucrării termenilor extreme, iar al doilea - pentru mediul de lucru. Eliberat de capital pot fi formate, de exemplu, această proporție:

În general, anunțul ecuație = bc se poate obține următoarele proporții:

Fa-ti următorul exercițiu. Cu produsul a două perechi de numere, scrie o proporție corespunzătoare fiecărei ecuații:

§ 127. Calcularea necunoscute membrilor proporțional.

Principala Proporția de proprietate vă permite să calculeze proporția de oricare dintre membrii, în cazul în care nu se cunoaște. Ia proporție:

Această proporție este necunoscut unul termeni extreme. Știm că, în orice proporție de membri ai lucrării extremă este produsul membrului mediu. Pe această bază, putem scrie:

După înmulțirea la 4 la 15, putem rescrie această ecuație după cum urmează:

Luați în considerare această ecuație. În ea primul factor nu este cunoscut, al doilea factor este cunoscut și produsul este cunoscut. Știm că, în scopul de a găsi factorul necunoscut este suficientă pentru a împărți lucrările într-o altă componentă (cunoscută). Apoi, veți obține:

Verificăm rezultatul găsit prin substituirea numărul 20 în loc de x într-o proporție de:

Ne gândim la ce pași a trebuit să efectueze pentru a calcula elementul necunoscut de proporții extreme. Dintre cei patru membri ai proporție era necunoscut pentru noi doar o extremă; două medii și un al doilea capăt erau cunoscute. Pentru a găsi un membru al proporțiilor extreme am Înmultind primul membru mediu (4 și 15), iar apoi a găsit de lucru împărțit într-un cunoscut membru al extremă. Noi acum arată că acțiunea nu ar fi schimbat în cazul în care este necesar membru proporții extreme nu a fost în primul rând, și pe acesta din urmă. Ia proporție:

Scriem proporțiile de proprietate de bază: x = 70 • 10 • 21.

Inmultind numarul 10 si 21, rescriem ecuația în forma:

Există un factor necunoscut, pentru a calcula locul de muncă destul de (210), împărțit la alt factor (70)

Astfel, putem spune că fiecare membru al raportului de aspect extreme este egal cu produsul dintre media împărțit la cealaltă extremă.

Să ne întoarcem acum la calcularea unui termen mediu necunoscut. Ia proporție:

Scriem proprietatea de bază de proporții:

Se calculează produsul de 30-9, și rearanja ultima ecuație:

Găsiți factorul necunoscut:

30. 10 = 27. 9. Proporția de adevărate.

Ia-o proporție mai mult:

12. b = x. 8. Scrie proporții proprietate de bază:

12. 8 • x = 6. Multiplicarea 12 și 8 și deplasarea laterală a ecuației, obținem:

• 6 x = 96. Constatăm factor necunoscut:

Astfel, fiecare membru al raportului mediu de aspect este produsul extrem împărțit la alt suport.

Găsiți necunoscute membrii următoarele proporții:

Ultimele două reguli în formă generală poate fi scrisă ca:

1) În cazul în care proporția este după cum urmează:

2) Dacă proporția este după cum urmează:

§ 128. Simplificarea proporției și permutări membrilor săi.

În această secțiune, deducem reguli pentru a simplifica proporția în cazul în care aceasta include un număr mare de membri sau fracționată. Numărul K de modificări care nu încalcă proporția, includ următoarele:

1. Creșterea simultană sau descrește ambii membri ai oricărei relații în același număr de ori.

EXEMPLU EXEMPLU. 40. 10 = 60. 15.

A crescut de 3 ori, ambii membri ai prima relație, obținem:

Proporția nu este rupt.

Reducerea de 5 ori cei doi termeni din a doua relație, obținem:

Ne-am întors proporția corectă.

2. Creșterea simultană sau descreșterea în una sau ambele dintre termenii succesivi anterioare în același număr de ori.

Exemplu. 16: 8 = 40:20.

Crescut de 2 ori membrii anterioare ale ambelor relații:

Obținem proporția corectă.

Scăderea de 4 ori termeni ulterioare ale relațiilor:

Proporția nu este rupt.

Cele doua ieșire rezultat poate fi exprimat pe scurt după cum urmează: Proporția nu este încălcat dacă ne în același timp, creșterea sau diminuarea cu același factor de orice membru al proporțiilor extreme și orice mediu.

De exemplu, în scădere de 4 ori prima extremă și termeni 2a înseamnă proporție de 16: 8 = 40:20, obținem:

3. Creșterea simultană sau scădere a proporției tuturor membrilor de același număr de ori. Exemplu. 36:12 = 60:20. Mărește toate cele patru numere din 2 ori:

Proporția nu este rupt. Reducerea toate cele patru numere din 4 ori:

Aceste transformări fac posibilă, în primul rând, pentru a simplifica proporțiile, și în al doilea rând, să-i elibereze de membrii fracționare. Dă exemple.

1) Să presupunem că există o proporție:

ceea ce aceasta a primei relații sunt un număr relativ mare, iar în cazul în care ne-am dorit să găsim valoarea lui x. ne-ar trebui să efectueze calcule cu privire la aceste numere; dar știm că proporția nu este încălcat în cazul în care ambii membri ai relației să fie împărțite în același număr. Se împarte fiecare dintre ele de 25. Proporția ia forma:

Astfel, am obținut, o proporție mai confortabile, din care x pot fi găsite în minte:

2) Ia-o proporție:

Această proporție este termenul fracționar (1/2), care poate fi eliberată. Va trebui să multiplice acest termen, de exemplu, la 2. Dar e și n membrul mediu al proporțiilor noi nu putem crește; Trebuie să crească odată cu ea unii dintre membrii cei mai extreme; în cazul în care proporția nu este încălcat (bazat pe primele două puncte). Creșterea primul dintre membrii extreme

(2 • 2). (2 • 1/2) = 20. 5, 1 sau 4. = 20: 5.

Creșterea de-al doilea membru al unei extreme:

2. (2 • 1/2) = 20. (2 • 5) = 1 sau 2. 20. 10.

Luați în considerare trei exemple încă să fie eliberate din proporția fracționată a membrilor.

Dăm fracțiuni la un numitor comun:

Înmulțind cu 8 ambii membri ai prima relație, obținem:

Exemplul 2. 12. 15/14 = 16. 10/7. Dăm fracțiuni la un numitor comun:

Înmulțim doi termeni ulterioare cu 14, obținem: 12:15 = 16:20.

Înmulțiți toți termenii de proporția de 48:

Atunci când rezolvarea problemelor în care există orice proporție, de multe ori au diferite scopuri rearanja membri proporții. Luați în considerare ceea ce permutări sunt legitime, t. E. proporții non-intruziv. Ia proporție:

Rearanjarea extreme, am înțeles:

Acum ne rearanja termenii de mijloc:

Permuta ambele extreme, și termenii de mijloc:

Toate aceste proporții sunt corecte. Acum am pus primul raport la a doua poziție, iar al doilea - în primul rând. Turn raportul:

În această proporție, vom face același remanierea, care au în trecut, adică. E., În primul rând rearanja termenii extreme, apoi, la mijlocul și în cele din urmă, ambele extreme și media. Obținem încă trei proporții, care vor fi valabile:

Deci, una dintre proporțiile prin permutări pot fi obținute mai multe 7 proporții, împreună cu cel de 8 proporții.

Mai ales detectat cu ușurință validitatea tuturor acestor proporții, cu intrare în ordine alfabetică. 8 proporțiile de mai sus obținute ia forma:

Este ușor de observat că în fiecare dintre aceste proporții de proprietate de bază ia forma:

Astfel, aceste permutări nu încalcă proporțiile corecte și pot fi folosite în caz de nevoie.