Ecuații diferențiale în total diferentiale

Luați în considerare ecuația diferențială M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Dacă există o funcție u (x, y), astfel încât du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy. atunci ecuația se numește ecuația diferențială totală. In acest caz, poate fi scris ca du (x, y) = 0.






Apoi, integral generală este de forma u (x, y) = C.

Serviciul de numire. Calculator online poate fi folosit pentru a verifica soluțiile de ecuații diferențiale în total diferentiale.

exemple
1. Ecuația diferențială xdy + ydx = 0 este o ecuație diferențială ordinară, deoarece d (xy) = xdy + ydx. Prin urmare, xy = C este soluția generală a acestei ecuații.
2. În mod similar pentru ecuația 2xydx + x 2 dy = 0, expresia x 2 y = C este soluția generală, deoarece partea stângă a acestei ecuații este diferențiala funcției u (x, y) = x 2 y.






Comparând cu identificarea potențialelor câmpuri (M, N) T. obține următorul rezultat.

Teorema. Ecuația (1) este ecuația diferențială ordinară potențială dacă și numai dacă câmpul (M, N) T, sau, echivalent, integralei linie nu depinde de calea integrării.
Corolar. Dacă există sunt derivați continue ale ecuației (1) este ecuație diferențială ordinară dacă și numai dacă
Ancheta face posibilă să se verifice dacă ecuația diferențială ordinară ecuație sau nu. Teorema ne permite să găsim soluția ecuației, în cazul unui răspuns afirmativ la întrebarea anterioară.

exemple
1. Găsiți soluția generală a ecuației 2xydx + (x 2 -y 2) dy = 0. De atunci, aceasta este o ecuație cu diferențială totală. Prin urmare, restabilirea potențialului, obținem
Apoi integrala generală (soluție totală) are forma
Ecuația 2 e - y dx- (2y + xe - y) dy = 0 este, de asemenea, în ecuația diferențială completă, deoarece

Prin urmare, restabilirea potențialului, avem

Prin urmare, integrala totală a ecuației este: -y 2 + xe -y = C.