Descompunerea numerelor în factori de prime, metode, și exemple de descompunere

În acest articol veți găsi toate informațiile necesare pentru a răspunde la întrebarea cum să se extindă numărul de numere prime. În primul rând, având în vedere o idee generală despre extinderea numărului de numere prime, sunt exemple de extinderi. ilustrează forma canonică a descompunerii în factori de prim. După aceea, algoritmul de descompunere dat un număr arbitrar de amorse, și exemple de numere de descompunere folosind acest algoritm. Metodele alternative sunt, de asemenea, abordate pentru a pune rapid numere întregi mici în factori de prim folosind criteriile de tabele de divizibilitate și de multiplicare.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă să se răspândească numărul de numere prime?

În primul rând, să se ocupe de faptul că astfel de factori simpli.

În mod evident, de data aceasta în fraza conține cuvântul „factori“, este un produs al unor numere, iar cuvântul de calificare „simplu“ înseamnă că fiecare factor este un număr prim. De exemplu, în produsul de 2 · 7 x 23 · 7 sunt prezente patru factor simplu: 2. 7. 7 și 23.

Și ce înseamnă să se extindă numărul de numere prime?

Acest lucru înseamnă că numărul ar trebui să fie reprezentat ca un produs de factori prime, iar valoarea acestui produs ar trebui să fie egal cu numărul inițial. Ca un exemplu, să considerăm produsul a trei numere prime 2 și 3 este egal cu 5. 30. Astfel, descompunerea 30 prim factorizare are forma 2 · 3 · 5. In general, descompunerea primului factorizarea este înregistrată ca egalitatea în acest exemplu, ar fi: = 2 · 30 3 · 5. Separat, subliniem faptul că factorii principali în expansiune poate fi repetată. Acest lucru este clar ilustrat prin exemplul următor: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Dar reprezentarea formei 45 = 3 · 15 nu este un factorizare, deoarece numărul 15 - un compozit.

Următoarea întrebare: „Și ce numărul poate fi descompus în factori de prim“?

Pentru a răspunde, vom prezenta următoarele argumente. numere prime, prin definiție, sunt printre numere naturale. mai mare decât unitatea. Având în vedere acest fapt și regula de multiplicare a numerelor întregi. se poate argumenta că activitatea câtorva factori de prim este un număr întreg pozitiv mai mare decât unitatea. Prin urmare, prim-factorizarea deține numai pentru numere întregi pozitive care sunt mai mari decât 1.

Dar sunt toate numere întregi, unitate superioară, descompus în factori de prim?

Este clar că numerele întregi prime descompusă în factori de prim nu este posibilă. Acest lucru se datorează faptului că numerele prime sunt doar două divizor pozitiv - unitate și în sine, astfel încât acestea nu pot fi reprezentate ca un produs de două sau mai multe numere prime. În cazul în care întreg z poate fi reprezentat ca un produs de numere prime a și b. noțiunea de divizibilitate ar permite să se concluzioneze că z este divizibil cu a și b. ceea ce este imposibil, având în vedere numărul simplității z. Cu toate acestea, consideră că orice număr prim este ea însăși prin expansiunea sa.

Ce zici de numere compuse? Descompus în cazul în care numerele compuse în amorse, și dacă toate numerele compuse sunt supuse unor astfel de degradare? Un răspuns afirmativ la unele dintre aceste întrebări dă teorema fundamentală a aritmeticii. Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă că orice număr întreg a. este mai mare de 1 poate fi descompus într-un produs de factori de prim p1. p2. ..., pn. în această expansiune are forma a = p1 · p2 · ... · PN. iar această descompunere este unic, în cazul în care nu ia în considerare ordinea factorilor de mai jos

Descompunerea canonică a numărului de amorse

În extinderea numărului de factori prime poate fi repetată. factori de prim repetate pot fi scrise mai compact folosind puterea numărului. Să presupunem că, în extinderea unui simplu s1 factor p1 apare din nou, prim factor p2 - ori S2, și așa mai departe, pn - ori sn. Apoi, factorii principali ai unui număr poate fi scris ca = p1 s1 · p2 s2 · ... · sn pn. Această formă de scriere este o descompunere așa-numita canonică a numărului de numere prime.

Aici este un exemplu al descompunerii canonice a numărului de numere prime. Să ne descompunere 609840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11. are o formă canonică de tipul 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2.

Descompunerea canonică a numărului de amorse vă permite să găsiți toate divizorii numărului de divizori a numărului.

Algoritmul de descompunere în factori de prim

Pentru a face față cu succes sarcina de a se descompune în factori de prim, ai nevoie de o bună cunoaștere a articolului informații prim și numere compuse.

Esența procesului și extinderea unui număr pozitiv mai mare unitate o dovadă clară a teorema fundamentală a aritmeticii. Punctul este găsirea secvențial cel mai puțin factori de prim p1. p2. ..., numere de cod PN, A1. a2. ..., o-1. pentru a furniza un număr de egalitati a = p1 · a1. unde a1 = a # 58; p1. a = p1 · a1 = p1 · p2 · a2. unde a2 = a1 # 58; p2. ..., a = p1 · p2 · ... · · un PN. în cazul în care o = o-1 # 58; PN. Când se obține o = 1. atunci ecuația a = p1 · p2 · ... · PN ne va da descompunerea dorită a unei prime în factori. Aici trebuie remarcat faptul că p1 ≤p2 ≤p3 ≤ ... ≤pn.

Rămâne să se ocupe de găsirea cel mai puțin divizorii prime la fiecare pas, și avem un algoritm de descompunere în factori de prim. Găsirea factori de prim din tabel ne va ajuta amorse. Ne arată cum să-l folosească pentru a obține cel mai mic divizor prim z.

Secvențial luăm numerele prime dintr-un tabel de numere prime (3. 2. 5. 7. 11 și așa mai departe) și ei împart acest număr z. Primul număr prim, la care Z este împărțit în mod egal, și va fi cel mai mic prim împărțitor. În cazul în care numărul de simplu Z, cel mai mic prim împărțitor său este cel mai mare număr z. Aici trebuie amintit că, dacă z nu este un număr prim, atunci cel mai mic prim divizor sa nu mai mare decât în ​​cazul în care - aritmetică rădăcina pătrată a lui z. Astfel, în cazul în care printre numerele prime care nu depășesc, nu un număr de divizor z. este posibil să se concluzioneze că Z - un număr prim (pentru mai multe informații despre acest lucru, într-un anumit număr este prim secțiune sau compozit intitulat Teoria).

De exemplu, vom arăta cum să găsiți cel mai mic divizor prim 87. Ia numărul 2. Fîșia 87 de 2 obține 87 # 58; 2 = 43 (. Ost 1) (dacă este necesar, a se vedea regulile de articol și exemple de diviziune a întregi cu rest). Aceasta este, prin împărțirea 87 de 2 se transformă astfel încât reziduul 1. 2 - nu este un divizor de 87. Luați următorul număr prim dintr-un tabel de numere prime este 3. Împărțiți numărul 87 pentru a obține 3. 87 58 # 3 = 29. Astfel, 87 divizibil cu 3, în consecință, numărul 3 este cel mai mic divizor prim 87.

Rețineți că, în cazul general, pentru factorizarea unui, avem nevoie de un tabel de numere prime până la un număr de cel puțin. Pentru acest tabel, trebuie să se ocupe de la fiecare pas, astfel încât este necesar să aibă la îndemână. De exemplu, pentru factorizării 95 va fi suficient pentru a amorsează tabelul 10 (din 10 înainte). Și pentru extinderea numărului 846 653 va avea nevoie deja un tabel de numere prime de până la 1000 (din 1000 mai mult).

Avem acum suficiente informații pentru a scrie algoritmul de descompunere în factori de prim. Descompunerea algoritm un număr după cum urmează:

• Secvențial sortare a tabelului de numere prime, găsiți factorul cel mai mic prim p1 a. atunci vom calcula a1 = o # 58; p1. Dacă a1 = 1. numărul unui - simplu, dar ea însăși este factorizarea ei. În cazul în care A1 este egal cu 1, atunci avem o = p1 · A1 și du-te la pasul următor.
• Găsim divizorul cel de prim p2 a1. itera secvențial acest număr din tabelul de numere prime incepand de la p1. atunci vom calcula a2 = a1 # 58; p2. Dacă a2 = 1. extinderea dorită a unui prim factorizare este de forma a = p1 · p2. Dacă a2 este egal cu 1, atunci avem o = p1 · p2 · a2 și du-te la pasul următor.
• Trecand peste numărul de tabele de numere prime, incepand cu p2. Noi găsim cel mai mic factor p3 prim a2. atunci vom calcula a3 = a2 # 58; p3. Dacă a3 = 1. apoi o extindere dorită a factorilor primi de forma a = p1 · p2 · p3. Dacă a3 este egal cu 1, atunci avem o = p1 · p2 · p3 · a3 și du-te la pasul următor.
• ...
• Găsim divizorul cel de prim-un 1 pn. de cotitură peste numere prime, începând cu 1 PN-. și o = o-1 # 58; PN. și un obținut este egal cu 1. Acest pas este ultimul pas al algoritmului, aici obținem descompunerea dorită a unei prime în factori: a = p1 · p2 · ... · PN.

Toate rezultatele obținute la fiecare pas al algoritmului de expansiune a factorilor primi, pentru claritate sunt în tabelul următor, în care în partea stângă a liniei verticale este scrisă secvențial în coloane a, a1. a2. ..., o. și dreptul trăsăturilor - cele mai mici divizori prime p1 corespunzătoare. p2. ..., pn.

Rămâne doar să ia în considerare câteva exemple de aplicare a acestui algoritm pentru a descompune numere de numere prime.

Exemplele factorizarea

Acum analizăm în exemplele de detaliu descompunerea numerelor în factori de prim. Atunci când extinderea se va aplica algoritmul din paragraful precedent. Să începem cu cazuri simple, și, treptat, se vor complica să se confrunte cu toate nuanțele care apar din descompunerea numerelor în factori de prim.