Cum se verifică diferențierea

5. diferențiabilității

Definiție 1. O funcție care are un derivat dintr-un punct numit diferențiabilă în acest moment.

Funcția diferențiabilă 2. Determinarea se numește în intervalul dacă este diferențiabilă în fiecare punct al intervalului.

De exemplu, funcția este diferențiabilă (m. E. Are un derivat) oriunde, prin urmare, poate fi numit diferențiabilă la infinit interval t. E. Pe întreaga axă.

Demonstrăm următoarea teoremă stabilește o legătură între diferențiabilității și continuitatea funcției.

Teorema. Dacă funcția este diferențiabilă într-un punct, apoi din acest punct este continuă.

Dovada. Să argumentul devine punctul increment nu este zero. Aceasta corespunde unei variații a funcției. Luați în considerare identitatea evidentă. Trecerea la limita, obținem:

ceea ce implică, conform revendicării. 2, continuitatea punctului

Teorema conversa nu este adevărat: există funcții continue, care, la unele puncte nu este diferențiabilă. Pentru a vedea acest lucru, ia în considerare funcția

Ideea este continuă, așa cum

Arătăm că funcția nu are nici un derivat de la bun început, observăm că la punctul

Dreptul de la zero. prin urmare

La stânga de la zero. prin urmare

Astfel, raportul dintre dreapta și stânga au limite diferite, ceea ce înseamnă că limita nu este raportul, r. E. Derivatul la punctul nu există.

Luați în considerare un alt exemplu. Functia este continua pe toata axa reală și, în special, atunci când ne arată că, în această funcție nu are nici un derivat. De fapt, la incrementarea argumentului corespunde cu creșterea funcției

Trecerea la limita,

Aceasta înseamnă că funcția în punctul are nici un derivat.