Cum de a găsi centrul unui triunghi dreptunghic

CENTRUL DE FORȚELE PARALELI și centrul de greutate

§ 18. Centrul de forțe paralele

Având în vedere un sistem de forțe paralele aplicate la punctul Kah și orientate în aceeași direcție (fig. 1.32). Un astfel de sistem de forțe pot fi reduse la o rezultantă. paralel cu forțele date și îndreptate în aceeași direcție. Deoarece forța aplicată corpului este absolut solid din aliaj de-casa, există un vector de alunecare, rezultanta poate fi adaus locui oriunde pe linia aceasta-acțiunea de acțiune. Deducem ecuația liniei de acțiune a rezultanta forțelor paralele.

Conform teoremei rezultant mo-ment Varignon în raport cu fiecare axă este algebra-algebric rezuma-ing cuplul este relativ la aceeași axă. Deci, este-folosind expresii analitice pentru momentele de forță în raport cu axele de coordonate, putem scrie:

Notăm unghiurile dintre direcția forței cu axele de coordonate. și prin. și. Apoi proiecțiile pe axele de coordonate date forțelor și rezultanta acestora va fi egală cu:

Substituind aceste expresii în (1.9) și (1.10), după câteva transformări obținem

Împărțind ecuația (1.11), pe. și (1.12) - privind și înlocuiți pe. obținem

Punctul este numit centrul sistemului de forțe paralele. Poziția forțelor paralele preț-tra nu depinde de direcția de forță, dar numai pe valorile și punctele de aplicare ale acestora. Punctul central este forțe paralele, Th-cut linie care trece-sistem conductiv forțe paralele rezultate, la puncte fixe, cu orice schimbare la bord a acestor forțe în spațiu-stve conjugat-adj.

Considerațiile de mai sus și rezultatele, Tata va fi valabil în cazul unui sistem de forțe paralele, care sunt egale cu acțiune, dar nu în aceeași direcție. În acest caz, trebuie doar să ia în toate formulele valoarea cu un „plus“ în cazul în care direcția de județ în aceeași direcție cu cea. și cu semnul „minus“, în opus LES-ceai.

Trei cu formula (1.14) poate fi înlocuită cu o singură formulă vector

și în care - vectorii raza de puncte și punctele forte paralele de aplicare definite efectuate de origine.

Într-adevăr, proiecția vectorului raza de orice punct de pe axa. și egală cu conducătoare coordonatele corespunzătoare ale punctului (fig. 1.34). De aceea, prin proiectarea ecuația vectorului (1.15) pe axa de coordonate, obținem formula (1.14), determinarea coordonatelor centrului de para - forțe paralele.

§ 19. Conceptul centrului de greutate unui corp rigid de

Dacă dimensiunea corpului este mic în comparație cu raza Pământului, putem presupune că gravitatea tuturor particulelor ale corpului formează un sistem de forțe paralele. Ei au numit forța rezultantă a gravitației. și centrul de forțe paralele - centrul corp de greutate.

Centrul de greutate - este punctul prin care are loc linia de gravitatea acesteia, în orice poziție a corpului. Coordonatele centrului de greutate pot fi determinate din formulele (1.14)

În cazul în care organismul este omogen. greutatea oricăror particule ale corpului este proporțională cu volumul său. Prin urmare, un astfel de centru de coordonate gravitaționale sunt egale cu:

în cazul în care - volumul corpului.

În cazul în care un corp omogen are forma unei constante subțire shell-tol anvelope, ea poate fi considerată ca o suprafață de material. Greutatea fiecărei zone elementare a unei astfel de suprafață este proporțională cu pătratul elementului. Pentru a coordona centrul suprafeței de greutate al semi-ceai

în cazul în care - suprafața.

În cazul unei figuri plane. situată în planul. trebuie calculat (1.18) și numai coordonatele.

Sumele sunt numite momentul static al zonei, respectiv, în raport cu axele și.

Corpul, în care una dintre dimensiuni este foarte mare în comparație cu altele (de exemplu, un tub lung, sârmă, etc.) pot fi considerate ca o linie de material. Greutatea fiecărui element al unei linii de material omogen este proporțională cu lungimea elementului. În acest caz, formula generală (1.16) ia forma

Formula (1.16) - (1.19) sunt exacte, strict vorbind, numai în timp ritmul corpului la un număr infinit de particule infinit de mici. Dacă numărul de particule în care divizate mental capăt de corp, în cazul general, aceste formule sunt aproximative, deoarece coordonatele. și în care mo-gut fi determinat numai cu o precizie de dimensiuni ale particulelor. Particulele mai mici, mai mici eroarea, pe care o vom face în calculul coordonatelor centrului de greutate. Prin expresii exacte pot veni doar în re-Dhul Tate proces de limitare atunci când dimensiunea fiecărei particule tinde spre zero, iar numărul lor crește pe termen nelimitat. După cum se știe, această limită se spune op-definiteness integrală. Prin urmare, determinarea efectivă a centrelor de greutate coordonatele corpurilor conform formulelor (1.16) - (1.19), în cazul general, înlocuirea Thr-Buet cantități integralele corespunzătoare și aplicarea calculului integral. Cu toate acestea, într-un anumit-toryh cazuri speciale, este posibil să se administreze și metode elementare pe care le vom discuta mai jos.

§ 20. Unele metode de determinare a coordonatelor

corp omogen Metoda simmetrii.Esli are un plan, axa sau centru de simetrie, centrul de greutate al corpului se află, respectiv, în plat STi pe această axă sau la centru. De exemplu, centrul de greutate al unui con circular omogen situată pe axa sa, iar centrul de greutate al unei sfere omogene - în centrul său.

corp Metoda gruppirovki.Esli poate fi împărțit într-un număr finit de părți, pentru fiecare dintre care poziția centrului de greutate este cunoscută, atunci coordonatele centrului de greutate poate fi determinată cu precizie și, mai mult decât atât, în mod direct prin formulele generale (1.16) - (1.19), atunci când este privit în ei (sau ..) și. . respectiv ca greutate (sau volum, zona, lungime) și coordonatele Nata centrele de greutate ale părților corpului.

Aceste afirmații pot fi demonstrate prin intermediul (1.16). Vom dovedi-probă, a doua dintre ele. Lăsați corpul poate fi divizat în părți pentru fiecare din greutatea și coordonatele co-toryh cunoscute. . centrul de greutate. . Ne-am împărțit fiecare dintre sumele. . în formulele (1.16) în termeni, fiecare dintre care este comună doar una dintre piesele în care corpul divizat. De exemplu,

Dar, în conformitate cu prima formula (1.16)

Această ecuație este destul de precisă în care trece pe partea stângă la limita (definită integral); în timp ce partea dreaptă este exprimată printr-un număr finit de termeni. Prin urmare, obținem (exact)

etc. ceea ce dovedește afirmația noastră.

Sarcina 1.9. Se determină centrul de greutate al unui plan figura (fig. 1.35), îndoit dintr-o sârmă subțire. Având în vedere dimensiunile :. . . .

Decizie. Cifra este format din patru de-brusc. . și. Aceste părți patru pneuri și împartă figura. Mijloacele de aceste segmente sunt centrele de simetrie, și, în consecință, centre de cha-gravitație (puncte .. Și Fig. 1.35).

Pe baza mărimii segmentelor, găsi coordonatele centrelor de greutate și segmentele și o lungime.

Prin (1.18), obținem:

Metoda adăugări. sau greutăți negative. Este o metodă specială de grupare caz de ceai. Esența ei este clar din exemplul următor.

Sarcina 1.11. Într-un toplate pla pătrat omogen cu partea tăiată o gaură în formă de pătrat, o sută de Rhone paralele cu laturile pla-Stina și egal. Nata determină coordonatele centrului de greutate al părții rămase a plăcii, cunoașterea. unde - centrul pătrat (Figura 1.37.).

Reshenie.Budem ia în considerare această placă ca un set complet de un decupaj pătrat și fără un pătrat cu zona centrală tochkes negativ (greutate negativă), suprapus pe poziția decupaj. Coordonatele pentru centrele de greutate ale Formulele (1,19) Zona negativă (greutate) ar trebui să fie luate în considerare cu semnul „minus“.

Prin centrul de pătrat și axa de sârmă. În centrele de coordonate alese pătrate ale sistemului de gravitație coincid cu punctele și. Găsiți zona de pătrate:

Pe baza primelor două formule (1.18), obținem

Pappa -Guldina Teorema. În multe cazuri, determinarea coordonatele centrului de greutate al cifrelor plane și linii simplifică utilizarea teoreme Pappa - Guldin.

Primul teorema.Obem format prin rotirea o cifră în jurul unei axe culcat cu corpul ei într-un singur plan și să nu-l intersectează, este egală cu produsul dintre forma patrata pe circumferința descrisă de centrul său de greutate.

Dovada. Volumul corpului, care este format prin rotirea unei figură plană (fig. 1.38) în jurul axei. Acesta poate fi calculată ca suma volumelor corpurilor formate de zonele elementare de rotație-niem. Volumul fiecăruia dintre corpul infinitezimal și întregul corp

Pe baza formulelor (1.17), avem

în cazul în care - aria figurii; - coordonatele centrului de greutate.

Asimilarea partea dreaptă a formulelor, teoreme stabilesc validitatea primului Papă-Gulden.

A doua teorema.Bokovaya verhnosttela este format prin rotirea unei linii plat în jurul unei axe culcat cu ea într-un singur plan și ei nu se intersectează liniile conductoare egale cu lungimea produsului la circumferința descrisă de către centrul de greutate-cha.

Dovada. Suprafața laterală a corpului, arcul format prin rotație în jurul axei. culcat cu ea în același plan, egală cu suma suprafețelor descrise arce elementare (vezi Figura 1.39 ..):

Utilizarea formulelor (1.18), avem

unde - lungimea liniei; - coordonatele centrului de greutate.

Asimilarea laturile mâna dreaptă a ultimei formule, vom stabili validitatea celui de al doilea teoremei Papa Goulden.

Sarcina 1.12. Se determină poziția centrului de greutate al suprafeței unui triunghi dreptunghic isoscel cu picioare (Fig. 1.40).

Decizie. După un unghi la vârf predeterminat drepte triunghi și axa firului. Rotiți triunghiul în jurul axei. obține un con cu o rază de bază și înălțimea (vezi. fig. 1.40). Volumul conului, și o zonă predeterminată a triunghiului

Prin urmare, pe baza prima ecuație teorema Papp -Guldina (1,20) (coordonate atunci când o astfel de rotație nu este schimbat) devine

Atunci când triunghiul este rotit în jurul axei get

Sarcina 1.13. Se determină poziția centrului de greutate al arcului semicerc de rază (fig. 1.41).

Decizie. Deoarece axa de simetrie coincide cu axa semicercului. centrul de greutate se află pe axa, și anume, .

Găsiți coordonate. Rotirea unui semicerc în jurul unei axe. Noi primim o sferă (vezi. Fig. 1.41). Suprafața sferei este. un semicerc de lungime -. Pe baza celui de al doilea Papp teorema - avem Guldin

§ 21. Centrele de greutate ale anumitor linii omogene

cifre și organismele plane

Centrul de greutate al triunghiului. Impartim zona triunghi nickul la elemente de bandă infinit subțiri de tară paralele de bază-Niju (fig. 1.42). Centrul de greutate kazh-doy o bandă situată în mijlocul ei. Centre geometrice sute-mi de greutate al tuturor dungi au o valoare mediană. Prin urmare, trebuie centru les-press de greutate al triunghiului. Având în vedere că același argument-spra valabil și pentru celelalte două medianele, centrul cha-greutate al triunghiului se află în punctul de intersecție al TION medianele sale. Când specificați coordonatele nodurilor ale triunghiului ei a lua

Centrul de greutate al arcului de cerc. Impartim arcul în arce elementare infinit mici (Fig. 1,43).

Cu ajutorul Fig. 1.43 au

Centrul de greutate al zonei sectorului. împărțiți Mintal raze sectoriale trase din centru. un infinitezimale sectoare, dintre care unul este prezentat în desen (vezi. fig. 1.44). Fiecare dintre acestea pot fi privite ca un sector al unui triunghi, și, prin urmare, centrul de greutate situat la distanțe de centru. Locusul centrele de greutate ale tuturor acestor sectoare este un arc. al cărui centru de greutate coincide cu centrul de greutate al sectorului. Formula (1.23), înlocuind. obține

În special, semi-cerc și un semicerc din formulele

de (1.22) și (1.23) avem, respectiv,

care coincide cu rezultatele obținute în rezolvarea problemei 1.13.

Sarcina 1.14. Să se determine coordonatele centrului de greutate al plăcii subțiri omogene, forma și dimensiunile care sunt prezentate în Fig. 1,45.

Decizie. Vom lua în considerare această înregistrare ca agregat total directă dreptunghi fără decupaje, triunghiul dreptunghiular-picior și un semicerc cu zonele negativ-Tel-guvernamentale, care sunt impuse în bucăți locuri. Pentru comoditatea de lung Shih calcul găsi lungimi necunoscute ale segmentelor. și.

Găsiți zona și coordonatele coordonează centrele de greutate ale acestor părți.

dreptunghi

Centrul de greutate al unui con circular drept. Fiind dat un con circular drept (Fig. 1.46), cu înălțimea și raza de bază. Axa conului este considerată axa de coordonate. Împărțim con mental pe straturile subțiri ale secțiunilor niyami-paralelă cu solul. Luând pentru fiecare strat aproximativ disc cilindric cu raza de bază. . și coloana-TION. constatăm că volumul său

Numărarea numărul de straturi din partea de sus a conului, avem

Apoi, formula (1.17), obținem o aproximativă

în cazul în care - volumul conului.

Închirierea și menționând că

Obținem valoarea exactă a coordonatelor

In mod similar se poate demonstra că, în orice centru piramida de greutate se află pe un segment de linie care leagă baza superioară cu un centru de greutate, la o distanță de sus egală cu lungimea acestui interval.

Mai eficient aceste probleme sunt rezolvate prin intermediul aparatului de calculul integral.