Ce înseamnă să factor

și gradul de inegalitate algebrică adică inegalitatea formei

în cazul în care - care este un polinom de grad

In rezolvarea ecuațiilor algebrice și inegalitățile de multe ori trebuie să se descompună polinomul în factori, deci § 1.1 este consacrată subiectului.

§ 1.1. Descompunerea factorizarea polinomului

Descompune polinomul în factori - acest lucru înseamnă să-l prezinte ca un produs de două sau mai multe polinoame. Această secțiune prezintă unele dintre metodele

factoring polinoame intr-un produs de factori primul și al doilea grad, deoarece cunoașterea unei astfel de expansiune este suficientă pentru a rezolva ecuații algebrice și inegalități.

1.1.1. impunerea unui factor comun.

În cazul în care toți membrii unui polinom au un factor comun, atunci, aducându-l din paranteze, obținem extinderea factorizarea polinomului.

EXEMPLUL 1 factorize polinomului

Decizie. Toți membrii acestui polinom au un factor comun de x. Introducerea placuta lui, obținem expansiunea factoring polinomului

1.1.2. Aplicarea formulelor de multiplicare Acronim.

Uneori polinomul pot fi luate cu ajutorul formulelor de multiplicare prescurtata:

Exemplul 2. factorize polinomului

Decizie. Aplicarea formulei avem

Exemplul 3. factorize polinomului

Decizie. Aplicarea formulei avem

1.1.3. Izolarea unui pătrat plin.

Uneori polinomului pot fi luate, de a folosi primă metodă de izolare pătrat perfect, apoi de obicei la pătrat formula diferență.

Exemplul 4. factorize polinomului

Decizie. Singularizarea un pătrat perfect, și apoi aplicarea formulei pătratelor diferenței, avem

1.1.4. Gruparea.

Această metodă este utilizată cel mai adesea în combinație cu îndepărtarea consolelor la un factor comun. Esența ei constă în rearanjarea termenilor în polinomului și suplimentar combinarea într-un grup, astfel încât, după îndepărtarea (dacă este posibil), un factor comun al fiecărui termen în grupul în paranteze transformat expresie, care la rândul său este factorul comun pentru fiecare grup.

Exemplul 5. factorize polinomului

Decizie. Regrupate primul și al doilea termen, iar în altul - al treilea și al patrulea termeni. Apoi, avem introducerea primului suport și multiplicatorul a doua categorie de a obține cele din urmă, să efectueze consolelor factorul comun constatăm că și, în cele din urmă, se introduce factorul paranteză că

1.1.5. Metoda coeficienților nedeterminat.

Esența acestei metode constă în faptul că pre-a asumat factorii de formă - polinoame, care se descompune polinomul. Această metodă se bazează pe următoarele afirmații:

1) Două polinomul identic egale dacă și numai dacă acestea sunt egale coeficienții de aceleași puteri

2) orice polinom de gradul al treilea este descompus într-un produs de multiplicatori pătrat liniar și;

3) orice polinom de gradul al patrulea este descompus într-un produs de două polinoame de gradul al doilea.

Exemplul 6 factorize polinomului

Decizie. Vom căuta polinoame, astfel încât egalitatea de adevărata identitate

Partea dreaptă a acestei ecuații poate fi scris ca

Echivalând coeficienții puterilor precum ale lui x de pe partea stângă și dreaptă a ecuației (1), obținem sistemul de ecuații

Este ușor de observat că aceste ecuații satisfac un număr, acest lucru înseamnă că polinomul este descompus în factori.

1.1.6. Selectarea coeficienților săi mai vechi și fără rădăcină polinomului.

Uneori, în timpul descompunerii unui polinom de factoring este util pentru următoarele afirmații:

1) Dacă un polinom cu coeficienți întregi are o rădăcină rațională - o fracție ireductibilă, apoi - un membru divizor liber - divizor de conducere coeficient

2) Dacă, în orice mod potrivit radacina unui polinom de gradul polinom poate fi reprezentat în forma în care - polinom de gradul

Polinomul pot fi găsite fie prin împărțirea polinoamelor de „coloana“ binom sau gruparea corespunzătoare termenilor polinomului și izolarea unui factor sau metoda coeficienților nedeterminat.

Exemplul 7. factorize polinomului

Decizie. Deoarece coeficientul este 1, rădăcinile raționale ale acestui polinom, în cazul în care acestea există.

sunt divizori de ex pot fi numere întregi. Notam polinom de Deoarece numerele nu sunt rădăcinile polinomului. Deoarece este o rădăcină de sens, polinomul este divizibil cu binomul Prin urmare,

Prin urmare, de atunci.

1.1.7. Metoda de introducere a unui parametru.

Uneori, în timpul descompunerii unui polinom de factoring ajută metoda de introducere a unui parametru. Esența acestei metode este ilustrată prin exemplul următor. Exemplul 8. factorize polinomului

Decizie. Luați în considerare un polinom cu un parametru.

care, atunci când sunt transformate într-un polinom predeterminat. Noi scrie polinomul ca un trinom pătratică în ceea ce privește o:

Deoarece rădăcinile trinom pătratic cu respect și au egalitatea

În consecință, factorizarea polinomului adică se descompune

1.1.8. introducerea unei noi metode necunoscute.

În unele cazuri, prin înlocuirea expresiile incluse în polinomul prin moleno obține un polinom în y, că este ușor de factor. Apoi, au după zameyy pentru a obține descompunerea multiplicatorilor polinomiale

Exemplul 9. factorize polinomului

SOLUȚIE. Să ne transformăm acest polinom după cum urmează:

Vom nota cu y. Apoi, avem

Exemplul 10. factorize polinomului

Decizie. Vom nota cu y. atunci

1.1.9. Combinarea diferitelor metode.

Adesea, în timpul descompunerii polinoamelor în factori trebuie să fie utilizate consecutiv mai multe dintre metodele vypke revizuite.

Exemplul 11. factorize polinomului

Decizie. Folosind grupul, rescrie polinomul sub forma

Aplicarea primei metode suport de izolare a unui pătrat plin, avem

Aplicarea unei formule pătrat perfect, putem scrie acum că

În cele din urmă, aplicarea formulei pătratelor diferența, constatăm că